本文的目的就是对常用的相似性度量作一个总结。
本文目录：
1. 欧氏距离
2. 曼哈顿距离
3. 切比雪夫距离
4. 闵可夫斯基距离
5. 标准化欧氏距离
6. 马氏距离
7. 夹角余弦
8. 汉明距离
9. 杰卡德距离 & 杰卡德相似系数
10. 相关系数 & 相关距离
11. 信息熵
1. 欧氏距离(Euclidean Distance)
(1)二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离：
(2)三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧氏距离：
(3)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离：
也可以用表示成向量运算的形式：
(4)Matlab计算欧氏距离
Matlab计算距离主要使用pdist函数。若X是一个M×N的矩阵，则pdist(X)将X矩阵M行的每一行作为一个N维向量，然后计算这M个向量两两间的距离。
例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的欧式距离
X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]
D = pdist(X,'euclidean')
结果：
D =
2. 曼哈顿距离(Manhattan Distance)
从名字就可以猜出这种距离的计算方法了。想象你在曼哈顿要从一个十字路口开车到另外一个十字路口，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是，除非你能穿越大楼。实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”。而这也是曼哈顿距离名称的来源， 曼哈顿距离也称为城市街区距离(City Block distance)。
(1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的曼哈顿距离
(2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的曼哈顿距离
(3) Matlab计算曼哈顿距离
例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的曼哈顿距离
X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]
D = pdist(X, 'cityblock')
结果：
D =
3. 切比雪夫距离 ( Chebyshev Distance )
国际象棋玩过么？国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的任意一个。那么国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步？自己走走试试。你会发现最少步数总是max( | x2-x1 | , | y2-y1 | ) 步。有一种类似的一种距离度量方法叫切比雪夫距离。
(1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的切比雪夫距离
(2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的切比雪夫距离
这个公式的另一种等价形式是
(3)Matlab计算切比雪夫距离
例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的切比雪夫距离
X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]
D = pdist(X, 'chebychev')
结果：
D =
4. 闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)
闵氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义。
(1) 闵氏距离的定义
两个n维变量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为：
其中p是一个变参数。
当p=1时，就是曼哈顿距离
当p=2时，就是欧氏距离
当p→∞时，就是切比雪夫距离
(2)闵氏距离的缺点
闵氏距离，包括曼哈顿距离、欧氏距离和切比雪夫距离都存在明显的缺点。
举个例子：二维样本(身高,体重)，其中身高范围是150~190，体重范围是50~60，有三个样本：a(180,50)，b(190,50)，c(180,60)。那么a与b之间的闵氏距离（无论是曼哈顿距离、欧氏距离或切比雪夫距离）等于a与c之间的闵氏距离，但是身高的10cm真的等价于体重的10kg么？因此用闵氏距离来衡量这些样本间的相似度很有问题。
简单说来，闵氏距离的缺点主要有两个：(1)将各个分量的量纲(scale)，也就是“单位”当作相同的看待了。
(2)没有考虑各个分量的分布（期望，方差等)可能是不同的。
(3)Matlab计算闵氏距离
例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的闵氏距离（以变参数为2的欧氏距离为例）
X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]
D = pdist(X,'minkowski',2)
结果：
D =
5. 标准化欧氏距离 (Standardized Euclidean distance )
(1)标准欧氏距离的定义
标准化欧氏距离是针对简单欧氏距离的缺点而作的一种改进方案。标准欧氏距离的思路：既然数据各维分量的分布不一样，好吧！那我先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等吧。均值和方差标准化到多少呢？这里先复习点统计学知识吧，假设样本集X的均值(mean)为m，标准差(standard deviation)为s，那么X的“标准化变量”表示为：
而且标准化变量的数学期望为0，方差为1。因此样本集的标准化过程(standardization)用公式描述就是：
标准化后的值 =
经过简单的推导就可以得到两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的标准化欧氏距离的公式：
如果将方差的倒数看成是一个权重，这个公式可以看成是一种加权欧氏距离(Weighted Euclidean distance)。
(2)Matlab计算标准化欧氏距离
例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的标准化欧氏距离 (假设两个分量的标准差分别为0.5和1)
X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]
D = pdist(X, 'seuclidean',[0.5,1])
结果：
D =
6. 马氏距离(Mahalanobis Distance)
（1）马氏距离定义
若协方差矩阵是对角矩阵，公式变成了标准化欧氏距离。
(2)马氏距离的优缺点：量纲无关，排除变量之间的相关性的干扰。
(3) Matlab计算(1 2)，( 1 3)，( 2 2)，( 3 1)两两之间的马氏距离
X = [1 2; 1 3; 2 2; 3 1]
Y = pdist(X,'mahalanobis')
结果：
Y =
7. 夹角余弦(Cosine)
有没有搞错，又不是学几何，怎么扯到夹角余弦了？各位看官稍安勿躁。几何中夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异，机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。
(1)在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式：
(2) 两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦
即：
(3)Matlab计算夹角余弦
例子：计算(1,0)、( 1,1.732)、( -1,0)两两间的夹角余弦
X = [1 0 ; 1 1.732 ; -1 0]
D = 1- pdist(X, 'cosine')
结果：
D =