好久没更新了，今天来讲二叉树的一个重要应用：二叉搜索树。这次介绍的是平衡二叉树(
也叫AVL
树),
刚开始本来想自己写这篇文章的，书上关于AVL
树这里讲得很复杂(
我是看了半天才看懂)
。好了，废话少说，一起来看吧~
平衡二叉树
(AVL
树
)
这个恐怕是整个《数据结构》教科书里面最难的和最“没用”的数据结构了(
现在的教科书还有部分算法内容)
。说它没用，恰恰是因为它太有用——有着和普通的二叉搜索树完全一样的接口界面，绝大多数情况下比普通的二叉搜索树效率高(
很多)
。因此，通常情况下，人们都是一劳永逸的——写完后就重用，而不会再写了。所以说，你虽然学完了平衡二叉树，但很可能你永远也不会亲自写一个。你现在随便在身边拉个人，让他来写一个，能顺利的写出来的恐怕不多，玩笑之词，且勿当真。
在开始写之前，我很担心，能不能把这部分写清楚，毕竟书上满天的
switch…case
，并且还只是一半——有左旋没有右旋，有插入没有删除。后来，我变得有信心了——因为书上都没有说清楚，都在那里说梦话
。我没有找到
AVL
树的发明者的原著(
G. M. Adelson-Velskii and Y. M. Landis
. An algorithm for the organization of information
. Soviet Math. Dokl., 3:1259--1262, 1962.
)
也不知道我下面所写的是不是体现了发明者的本意
，
但至少
，
我认为现在的教科书歪曲了发明者的本意。
基本概念
Ø
平衡
下面的引文出自Algorithms and Data Structures
(Niklaus Wirth
, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1986 ISBN: 0-13-022005-1 pp. 215–226
）
One such definition of balance has been postulated by Adelson-Velskii and Landis [4-1]. The balance criterion is the following:
A tree is balanced
if and only if for every node the heights of its two subtrees differ by at most 1.
Trees satisfying this condition are often called AVL-trees (after their inventors). We shall simply call them balanced trees
because this balance criterion appears a most suitable one. (Note that all perfectly balanced trees are also AVL-balanced.)
The definition is not only simple, but it also leads to a manageable rebalancing procedure
and an average search path length practically identical to that of tbe perfectly balanced tree.
科技文都比较好懂，本人翻译水平比较差，就不献丑了，我只想让大家注意最后一段的画线部分，平衡化应该是易于操作的
，而绝不是现在你在书上看到的铺天盖地的
switch…case
。
Ø
旋转
平衡化靠的是旋转。参与旋转的是3
个节点(
其中一个可能是外部节点NULL)
，旋转就是把这3
个节点转个位置。注意的是，左旋的时候p->right
一定不为空，右旋的时候p->left
一定不为空，这是显而易见的。
可以看到，左旋确实是在向“
左”
旋转，还是很形象的。右旋是左旋的镜像，就不再另行说明了。下表是左旋和右旋各个节点的指针变换情况。(
括号表示NULL
的情况不执行)
|
左旋 |
右旋 |
||
|
t->parent = p->parent |
p->parent = t |
t->parent = p->parent |
p->parent = t |
|
(t->left->parent = p) |
p->right = t->left |
(t->right->parent = p) |
p->left = t->right |
|
t->left = p |
p = t |
t->right = p |
p = t |
Ø
平衡因子
（
bf
——
balance factor
）
AVL
树的平衡化靠旋转，而是否需要平衡化，取决于树中是否出现了不平衡。为了避免每次判断平衡时，都求一下左右子树的高度，引入了平衡因子。很可能是1962
年的时候AV&L
没有亲自给出定义，时下里平衡因子的定义乱七八糟——我看了4
本书，两本是bf
＝ 左高－右高，两本是bf
＝ 右高－左高。最有意思的是两本中国人(
严蔚敏和殷人昆)
写的一本左减右，一本右减左；两本外国人写的也是这样。虽然没什么原则上的差别，可苦了中国的莘莘学子们——考试的时候可不管你是哪个门派的。我照顾自己的习惯，下面的bf =
左高－右高，习惯不同的请自己注意。
这样一来，是否需要平衡化的条件就很明了了——|bf| > 1
。如果从空树开始建立，并时刻保持平衡，那么不平衡只会发生在插入删除操作上，而不平衡的标志就是出现bf == 2
或者 bf == -2
的节点。
插入和删除
在AVL
树插入和删除，实际上就是先按照普通二叉搜索树插入和删除，然后再平衡化。可以肯定的说，插入和删除需要的最多平衡化次数不同(
下面会给出根本原因)
，但这不表明插入和删除时的平衡化的思路有很大差别。现有的教科书，仅仅从表面上看到了到了平衡化操作次数不同的假象，而没有从根本上认识到插入和删除对称的本质
，搞得乱七八糟不说(
铺天盖地的switch…case)
，还严重的误导了读者——以为删除操作复杂的不可捉摸。
AVL
树体现了一种平衡的美感，两种旋转是互为镜像的，插入删除是互为镜像的操作，没理由会有那么大的差别。实际上，平衡化可以统一的这样来操作：
1
．while (current != NULL)
修改current
的平衡因子。
Ø
插入节点时
current->bf += (current->data > *p)?1:-1;
Ø
删除节点时
current->bf -= (current->data > *p)?1:-1;
Ø
current
指向插入节点或者实际删除节点的父节点，这是普通二叉搜索树的插入和删除操作带来的结果。
*p
初始值是插入节点或者实际删除节点的
data
。因为删除操作可能实际删除的不是
data
。
2
．
判断是否需要平衡化
if (current->bf == -2) L_Balance(c_root); else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);
3
．
是否要继续向上修改父节点的平衡因子
Ø
插入节点时
if (!current->bf) break;
这时，以
current
为根的子树的高度和插入前的高度相同。
Ø
删除节点时
if (current->bf) break;
这时，以
current
为根的子树的高度和删除前的高度相同
Ø
之所以删除操作需要的平衡化次数多，就是因为平衡化不会增加子树的高度，但是可能会减少子树的高度，在有有可能使树增高的插入操作中，一次平衡化能抵消掉增高；在有可能使树减低的删除操作中，平衡化可能会带来祖先节点的不平衡
。
4
．
当前节点移动到父节点，转
1
p = &(current->data); current = current->parent;
完整的插入删除函数如下：
insert(
const
T
&
data) {
if
(
!
BSTree
<
T
>
::insert(data))
return
false
;
const
T
*
p
=
&
data;
while
(current) {
current
->
bf
+=
(current
->
data
>
*
p)
?
1
:
-
1
;
if
(current
->
bf
==
-
2
) L_Balance(c_root);
else
if
(current
->
bf
==
2
) R_Balance(c_root);
if
(
!
current
->
bf)
break
;
p
=
&
(current
->
data);
current
=
current
->
parent;
}
return
true
;
}
bool
remove(
const
T
&
data) {
if
(
!
BSTree
<
T
>
::remove(data))
return
false
;
const
T
*
p
=
&
r_r_data;
//
在class BSTree里添加proteceted: T r_r_data，
//
在BSTree<T>::remove(const T &data)
//
里修改为实际删除的节点的data
while
(current) {
current
->
bf
-=
(current
->
data
>
*
p)
?
1
:
-
1
;
if
(current
->
bf
==
-
2
) L_Balance(c_root);
else
if
(current
->
bf
==
2
) R_Balance(c_root);
if
(current
->
bf)
break
;
p
=
&
(current
->
data);
current
=
current
->
parent;
}
return
true
;
}
你可以看到，他们是多么的对称。
平衡化
显然的，平衡化后的子树应该是平衡的，以此为原则，很容易得知在各种情况下应该怎么旋转。
:
void
L_Balance(BTNode
<
T
>*
&
p) {
if
(p
->
right
->
bf
==
1
) R_Rotate(p
->
right);
L_Rotate(p); current
=
p;
}
void
R_Balance(BTNode
<
T
>*
&
p) {
if
(p
->
left
->
bf
==
-
1
) L_Rotate(p
->
left);
R_Rotate(p);
current
=
p;
}
他们也是对称的。
修改平衡因子
这是整个AVL
树能运转的核心，现在的教科书，也正是因为没有真正弄明白如何修改平衡因子，才搞的switch…case
满天飞。平衡因子的变化发生在旋转中——正因为这样，旋转才能有平衡化的作用——所以，应该把修改平衡因子的工作放在旋转操作中，而不是放在平衡化中。让我们来看看可能的旋转会带来的平衡因子变化的情况：
|
左旋（旋转后p |
右旋（旋转后p |
|||||||
|
旋转前p |
旋转前t |
旋转后p |
旋转后t |
旋转前p |
旋转前t |
旋转后p |
旋转后t |
|
|
－2 |
0 |
－1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
－1 |
|
|
－2 |
－1 |
0 |
0 |
2 |
1 |
0 |
0 |
|
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－2 |
－2 |
1 |
0 |
2 |
2 |
－1 |
0 |
|
|
－1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
| ||