一、TSP问题
TSP问题（Travelling Salesman Problem）即旅行商问题，又译为旅行推销员问题、货郎担问题，是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。
TSP问题是一个组合优化问题。该问题可以被证明具有NPC计算复杂性。TSP问题可以分为两类，一类是对称TSP问题（Symmetric TSP），另一类是非对称问题（Asymmetric TSP）。所有的TSP问题都可以用一个图（Graph）来描述：
V={c1, c2, …, ci, …, cn}，i = 1,2, …, n，是所有城市的集合.ci表示第i个城市，n为城市的数目；
E={(r, s): r,s∈ V}是所有城市之间连接的集合；
C = {crs: r,s∈ V}是所有城市之间连接的成本度量（一般为城市之间的距离）；
如果crs = csr, 那么该TSP问题为对称的，否则为非对称的。
一个TSP问题可以表达为：
求解遍历图G = (V, E, C)，所有的节点一次并且回到起始节点，使得连接这些节点的路径成本最低。
二、蚁群算法
蚁群算法(ant colony optimization, ACO)，又称蚂蚁算法，是一种用来在图中寻找优化路径的机率型算法。它由Marco Dorigo于1992年在他的博士论文中提出，其灵感来源于蚂蚁在寻找食物过程中发现路径的行为。蚁群算法是一种模拟进化算法，初步的研究表明该算法具有许多优良的性质。针对PID控制器参数优化设计问题，将蚁群算法设计的结果与遗传算法设计的结果进行了比较，数值仿真结果表明，蚁群算法具有一种新的模拟进化优化方法的有效性和应用价值。
蚁群算法原理：假如蚁群中所有蚂蚁的数量为m，所有城市之间的信息素用矩阵pheromone表示，最短路径为bestLength，最佳路径为bestTour。每只蚂蚁都有自己的内存，内存中用一个禁忌表（Tabu）来存储该蚂蚁已经访问过的城市，表示其在以后的搜索中将不能访问这些城市；还有用另外一个允许访问的城市表（Allowed）来存储它还可以访问的城市；另外还用一个矩阵（Delta）来存储它在一个循环（或者迭代）中给所经过的路径释放的信息素；还有另外一些数据，例如一些控制参数（α,β,ρ,Q），该蚂蚁行走玩全程的总成本或距离（tourLength），等等。假定算法总共运行MAX_GEN次，运行时间为t。
蚁群算法计算过程如下：
（1）初始化
（2）为每只蚂蚁选择下一个节点。
（3）更新信息素矩阵
（4）检查终止条件
（5）输出最优值
三、蚁群算法求解TSP问题
在该JAVA实现中我们选择使用tsplib上的数据att48，这是一个对称TSP问题，城市规模为48，其最优值为10628.其距离计算方法下图所示：
具体代码如下：
package noah;
import java.util.Random;
import java.util.Vector;
public class Ant implements Cloneable {
private Vector<Integer> tabu; // 禁忌表
private Vector<Integer> allowedCities; // 允许搜索的城市
private float[][] delta; // 信息数变化矩阵
private int[][] distance; // 距离矩阵
private float alpha;
private float beta;
private int tourLength; // 路径长度
private int cityNum; // 城市数量
private int firstCity; // 起始城市
private int currentCity; // 当前城市
public Ant() {
cityNum = 30;
tourLength = 0;
}
/**
* Constructor of Ant
*
* @param num
* 蚂蚁数量
*/
public Ant(int num) {
cityNum = num;
tourLength = 0;
}
/**
* 初始化蚂蚁，随机选择起始位置
*
* @param distance
* 距离矩阵
* @param a
* alpha
* @param b
* beta
*/
public void init(int[][] distance, float a, float b) {
alpha = a;
beta = b;
// 初始允许搜索的城市集合
allowedCities = new Vector<Integer>();
// 初始禁忌表
tabu = new Vector<Integer>();
// 初始距离矩阵
this.distance = distance;
// 初始信息数变化矩阵为0
delta = new float[cityNum][cityNum];
for (int i = 0; i < cityNum; i++) {
Integer integer = new Integer(i);
allowedCities.add(integer);
for (int j = 0; j < cityNum; j++) {
delta[i][j] = 0.f;
}
}
// 随机挑选一个城市作为起始城市
Random random = new Random(System.currentTimeMillis());
firstCity = random.nextInt(cityNum);
// 允许搜索的城市集合中移除起始城市
for (Integer i : allowedCities) {
if (i.intValue() == firstCity) {
allowedCities.remove(i);
break;
}
}
// 将起始城市添加至禁忌表
tabu.add(Integer.valueOf(firstCity));
// 当前城市为起始城市
currentCity = firstCity;
}
/**
*
* 选择下一个城市
*
* @param pheromone
* 信息素矩阵
*/
public void selectNextCity(float[][] pheromone) {
float[] p = new float[cityNum];
float sum = 0.0f;
// 计算分母部分
for (Integer i : allowedCities) {
sum += Math.pow(pheromone[currentCity][i.intValue()], alpha)
* Math.pow(1.0 / distance[currentCity][i.intValue()], beta);
}
// 计算概率矩阵
for (int i = 0; i < cityNum; i++) {
boolean flag = false;
for (Integer j : allowedCities) {
if (i == j.intValue()) {
p[i] = (float) (Math.pow(pheromone[currentCity][i], alpha) * Math
.pow(1.0 / distance[currentCity][i], beta)) / sum;
flag = true;
break;
}
}
if (flag == false) {
p[i] = 0.f;
}
}
// 轮盘赌选择下一个城市
Random random = new Random(System.currentTimeMillis());
float sleectP = random.nextFloat();
int selectCity = 0;
float sum1 = 0.f;
for (int i = 0; i < cityNum; i++) {
sum1 += p[i];
if (sum1 >= sleectP) {
selectCity = i;
break;
}
}
// 从允许选择的城市中去除select city
for (Integer i : allowedCities) {
if (i.intValue() == selectCity) {
allowedCities.remove(i);
break;
}
}
// 在禁忌表中添加select city
tabu.add(Integer.valueOf(selectCity));
// 将当前城市改为选择的城市
currentCity = selectCity;
}
/**
* 计算路径长度
*
* @return 路径长度
*/
private int calculateTourLength() {
int len = 0;
//禁忌表tabu最终形式：起始城市,城市1,城市2...城市n,起始城市
for (int i = 0; i < cityNum; i++) {
len += distance[this.tabu.get(i).intValue()][this.tabu.get(i + 1)
.intValue()];
}
return len;
}
public Vector<Integer> getAllowedCities() {
return allowedCities;
}
public void setAllowedCities(Vector<Integer> allowedCities) {
this.allowedCities = allowedCities;
}
public int getTourLength() {
tourLength = calculateTourLength();
return tourLength;
}
public void setTourLength(int tourLength) {
this.tourLength = tourLength;
}
public int getCityNum() {
return cityNum;
}
public void setCityNum(int cityNum) {
this.cityNum = cityNum;
}
public Vector<Integer> getTabu() {
return tabu;
}
public void setTabu(Vector<Integer> tabu) {
this.tabu = tabu;
}
public float[][] getDelta() {
return delta;
}
public void setDelta(float[][] delta) {
this.delta = delta;
}
public int getFirstCity() {
return firstCity;
}
public void setFirstCity(int firstCity) {
this.firstCity = firstCity;
}
}
package noah;
import java.io.BufferedReader;
import java.io.FileInputStream;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
public class ACO {
private Ant[] ants; // 蚂蚁
private int antNum; // 蚂蚁数量
private int cityNum; // 城市数量
private int MAX_GEN; // 运行代数
private float[][] pheromone; // 信息素矩阵
private int[][] distance; // 距离矩阵
private int bestLength; // 最佳长度
private int[] bestTour; // 最佳路径
// 三个参数
private float alpha;
private float beta;
private float rho;
public ACO() {
}
/**
* constructor of ACO
*
* @param n
* 城市数量
* @param m
* 蚂蚁数量
* @param g
* 运行代数
* @param a
* alpha
* @param b
* beta
* @param r
* rho
*
**/
public ACO(int n, int m, int g, float a, float b, float r) {
cityNum = n;
antNum = m;
ants = new Ant[antNum];
MAX_GEN = g;
alpha = a;
beta = b;
rho = r;
}
// 给编译器一条指令，告诉它对被批注的代码元素内部的某些警告保持静默
@SuppressWarnings("resource")
/**
* 初始化ACO算法类
* @param filename 数据文件名，该文件存储所有城市节点坐标数据
* @throws IOException
*/
private void init(String filename) throws IOException {
// 读取数据
int[] x;
int[] y;
String strbuff;
BufferedReader data = new BufferedReader(new InputStreamReader(
new FileInputStream(filename)));
distance = new int[cityNum][cityNum];
x = new int[cityNum];
y = new int[cityNum];
for (int i = 0; i < cityNum; i++) {
// 读取一行数据，数据格式1 6734 1453
strbuff = data.readLine();
// 字符分割
String[] strcol = strbuff.split(" ");
x[i] = Integer.valueOf(strcol[1]);// x坐标
y[i] = Integer.valueOf(strcol[2]);// y坐标
}
// 计算距离矩阵
// 针对具体问题，距离计算方法也不一样，此处用的是att48作为案例，它有48个城市，距离计算方法为伪欧氏距离，最优值为10628
for (int i = 0; i < cityNum - 1; i++) {
distance[i][i] = 0; // 对角线为0
for (int j = i + 1; j < cityNum; j++) {
double rij = Math
.sqrt(((x[i] - x[j]) * (x[i] - x[j]) + (y[i] - y[j])
* (y[i] - y[j])) / 10.0);
// 四舍五入，取整
int tij = (int) Math.round(rij);
if (tij < rij) {
distance[i][j] = tij + 1;
distance[j][i] = distance[i][j];
} else {
distance[i][j] = tij;
distance[j][i] = distance[i][j];
}
}
}
distance[cityNum - 1][cityNum - 1] = 0;
// 初始化信息素矩阵
pheromone = new float[cityNum][cityNum];
for (int i = 0; i < cityNum; i++) {
for (int j = 0; j < cityNum; j++) {
pheromone[i][j] = 0.1f; // 初始化为0.1
}
}
bestLength = Integer.MAX_VALUE;
bestTour = new int[cityNum + 1];
// 随机放置蚂蚁
for (int i = 0; i < antNum; i++) {
ants[i] = new Ant(cityNum);
ants[i].init(distance, alpha, beta);
}
}
public void solve() {
// 迭代MAX_GEN次
for (int g = 0; g < MAX_GEN; g++) {
// antNum只蚂蚁
for (int i = 0; i < antNum; i++) {
// i这只蚂蚁走cityNum步，完整一个TSP
for (int j = 1; j < cityNum; j++) {
ants[i].selectNextCity(pheromone);
}
// 把这只蚂蚁起始城市加入其禁忌表中
// 禁忌表最终形式：起始城市,城市1,城市2...城市n,起始城市
ants[i].getTabu().add(ants[i].getFirstCity());
// 查看这只蚂蚁行走路径距离是否比当前距离优秀
if (ants[i].getTourLength() < bestLength) {
// 比当前优秀则拷贝优秀TSP路径
bestLength = ants[i].getTourLength();
for (int k = 0; k < cityNum + 1; k++) {
bestTour[k] = ants[i].getTabu().get(k).intValue();
}
}
// 更新这只蚂蚁的信息数变化矩阵，对称矩阵
for (int j = 0; j < cityNum; j++) {
ants[i].getDelta()[ants[i].getTabu().get(j).intValue()][ants[i]
.getTabu().get(j + 1).intValue()] = (float) (1. / ants[i]
.getTourLength());
ants[i].getDelta()[ants[i].getTabu().get(j + 1).intValue()][ants[i]
.getTabu().get(j).intValue()] = (float) (1. / ants[i]
.getTourLength());
}
}
// 更新信息素
updatePheromone();
// 重新初始化蚂蚁
for (int i = 0; i < antNum; i++) {
ants[i].init(distance, alpha, beta);
}
}
// 打印最佳结果
printOptimal();
}
// 更新信息素
private void updatePheromone() {
// 信息素挥发
for (int i = 0; i < cityNum; i++)
for (int j = 0; j < cityNum; j++)
pheromone[i][j] = pheromone[i][j] * (1 - rho);
// 信息素更新
for (int i = 0; i < cityNum; i++) {
for (int j = 0; j < cityNum; j++) {
for (int k = 0; k < antNum; k++) {
pheromone[i][j] += ants[k].getDelta()[i][j];
}
}
}
}
private void printOptimal() {
System.out.println("The optimal length is: " + bestLength);
System.out.println("The optimal tour is: ");
for (int i = 0; i < cityNum + 1; i++) {
System.out.println(bestTour[i]);
}
}
/**
* @param args
* @throws IOException
*/
public static void main(String[] args) throws IOException {
System.out.println("Start....");
ACO aco = new ACO(48, 10, 100, 1.f, 5.f, 0.5f);
aco.init("c://data.txt");
aco.solve();
}
}
运行结果截图：
四、总结
蚁群算法是一种本质上并行的算法。每只蚂蚁搜索的过程彼此独立，仅通过信息激素进行通信。所以蚁群算法则可以看作是一个分布式的多agent系统，它在问题空间的多点同时开始进行独立的解搜索，不仅增加了算法的可靠性，也使得算法具有较强的全局搜索能力，但是也正是由于其并行性的本质，蚁群算法的搜索时间较长，在求解小规模的NP问题时耗费的计算资源相比其他启发式算法要多，因而显得效率很低下，而当问题趋向于大规模时，蚁群算法还是存在难收敛的问题，个人感觉除非你真想耗费大量计算资源来干一件事情，否则还是慎用蚁群算法。
注：本文部分内容来源于网络，但程序以及分析结果属于本人成果，转载请注明！