1、背包问题
(1)0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
注：在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。
0-1背包问题可用动态规划算法来求解，具体过程可参看笔者博文《0019算法笔记——0-1背包问题动态规划求解》。
(2)背包问题：与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包，1≤i≤n。
这2类问题都具有最优子结构性质，极为相似，但背包问题可以用贪心算法求解，而0-1背包问题却不能用贪心算法求解。用贪心算法解背包问题的基本步骤是，首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过C，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止。
具体代码如下：
//4d2 贪心算法 背包问题
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 3;
void Knapsack(int n,float M,float v[],float w[],float x[]);
int main()
{
float M = 50;//背包所能容纳的重量
//这里给定的物品按单位价值减序排序
float w[] = {0,10,20,30};//下标从1开始
float v[] = {0,60,100,120};
float x[N+1];
cout<<"背包所能容纳的重量为："<<M<<endl;
cout<<"待装物品的重量和价值分别为："<<endl;
for(int i=1; i<=N; i++)
{
cout<<"["<<i<<"]:("<<w[i]<<","<<v[i]<<")"<<endl;
}
Knapsack(N,M,v,w,x);
cout<<"选择装下的物品比例如下："<<endl;
for(int i=1; i<=N; i++)
{
cout<<"["<<i<<"]:"<<x[i]<<endl;
}
return 0;
}
void Knapsack(int n,float M,float v[],float w[],float x[])
{
//Sort(n,v,w);//这里假定w[],v[]已按要求排好序
int i;
for (i=1;i<=n;i++)
{
x[i]=0;//初始化数组x[]
}
float c=M;
for (i=1;i<=n;i++)//物品整件被装下,x[i]=1
{
if (w[i]>c)
{
break;
}
x[i]=1;
c-=w[i];
}
//物品i只有部分被装下
if (i<=n)
{
x[i]=c/w[i];
}
}
程序运行结果为：
算法knapsack的主要计算时间在于将各种物品依其单位重量的价值从大到小排序。因此，算法的计算时间上界为O(nlogn)。为了证明算法的正确性，还必须证明背包问题具有贪心选择性质。这种贪心选择策略对0-1 背包问题就不适用了。看下图例子，其中有3中物品，背包的容量为50千克。物品1重10千克；价值60元；物品2重20千克；价值100元；物品3重30千克，价值120元。因此，物品1每千克价值6元，物品2每千克价值5元，物品3每千克价值4元。若依贪心选择策略，应首先选择物品1装入背包，然而从图b中各种情况可以看出，最优的选择方案是选择物品2和物品3装入背包。首选物品1的两种方案都不是最优的。对于背包问题，贪心选择最终可得到最优解，其选择方案如图c所示。
对于0-1背包问题，贪心选择之所以不能得到最优解是因为在这种情况下，它无法保证最终能将背包装满，部分闲置的背包空间使每公斤背包空间的价值降低了。事实上，在考虑0-1背包问题时，应比较选择该物品和不选择该物品所导致的最终方案，然后再作出最好选择。由此就导出许多互相重叠的子问题。这正是该问题可用动态规划算法求解的另一重要特征。
2、最优装载问题
问题描述：有一批集装箱要装上一艘载重量为c的轮船。其中集装箱i的重量为Wi。最优装载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下，将尽可能多的集装箱装上轮船。
最优子结构性质：设(x1,x2,……xn)是最优装载问题的满足贪心选择性质的最优解，则易知，x1=1,(x2,x3,……xn)是轮船载重量为c-w1，待装船集装箱为{2,3，……n}时相应最优装载问题的最优解。因此，最优装载问题具有最优子结构性质。
求解过程：最优装载问题可用贪心算法求解。采用重量最轻者先装的贪心选择策略，可产生最优装载问题的最优解。具体代码如下：
//4d3 贪心算法 最优装载问题
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 4;
template <class Type>
void Swap(Type &x,Type &y);
template<class Type>
void Loading(int x[], Type w[], Type c, int n);
template<class Type>
void SelectSort(Type w[],int *t,int n);
int main()
{
float c = 70;
float w[] = {0,20,10,26,15};//下标从1开始
int x[N+1];
cout<<"轮船载重为："<<c<<endl;
cout<<"待装物品的重量分别为："<<endl;
for(int i=1; i<=N; i++)
{
cout<<w[i]<<" ";
}
cout<<endl;
Loading(x,w,c,N);
cout<<"贪心选择结果为:"<<endl;
for(int i=1; i<=N; i++)
{
cout<<x[i]<<" ";
}
cout<<endl;
return 0;
}
template<class Type>
void Loading(int x[],Type w[], Type c, int n)
{
int *t = new int [n+1];//存储排完序后w[]的原始索引
SelectSort(w, t, n);
for(int i=1; i<=n; i++)
{
x[i] = 0;//初始化数组x[]
}
for(int i=1; i<=n && w[t[i]]<=c; i++)
{
x[t[i]] = 1;
c -= w[t[i]];
}
}
template<class Type>
void SelectSort(Type w[],int *t,int n)
{
Type tempArray[N+1],temp;
memcpy(tempArray,w,(n+1)*sizeof(Type));//将w拷贝到临时数组tempArray中
int min;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
t[i] = i;
}
for(int i=1;i<n;i++)
{
min=i;
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{
if(tempArray[min]>tempArray[j])
{
min=j;
}
}
Swap(tempArray[i],tempArray[min]);
Swap(t[i],t[min]);
}
}
template <class Type>
void Swap(Type &x,Type &y)
{
Type temp = x;
x = y;
y = temp;
}
算法loading的主要计算量在于将集装箱依其重量从小到大排序，故算法所需的计算时间为 O(nlogn)。运行结果如下：
