读了这许多年数学，越来越发现思想开通是学数之人的一种必备特质。这里的「思想开通」是指脑筋灵活，不宥于一种思维定势，不墨守陈规，随时准备接受新概念或意念。虽然学习其它学科往往也需要具备这种特质，但由于数学是最抽象的学科，学习数学几乎就等于做「脑力体操」，需要不断动脑筋，因此便特别需要上述这种特质。
以前曾听人说过，学数之人思想呆板，因为他们一切依循既定的公式。上述看法是不懂数学的人的误解。其实 ，在数学中能用公式或既有方法(即「算法」Algorithm)解的题目只占极少数(注1)。有些人根据他们在中小学学习数学的经验，以为学数无非就是学习一些标准的解题公式或方法，但其实这只是片面的看法。初等数学或非数学专业由于须顾及学生的数学水平和较为着重学生应用数学的能力，因此偏重于数学技巧方面。但是学习数学的真谛并不在于掌握一些解题技巧，而是在于了解各个概念、定理之间的逻辑关系。因此，对于学数之人来说，解题结果不是最重要的，逻辑推理过程同样重要。
现在开始从几个角度谈谈为何学数之人需要具备思想开通的特质。首先，学习数学就是不断接触新概念的过程 。翻开一本典型的大学数学教科书，你便会见到很多定义、定理。每一个定义都是新概念，而定理则是有关这些概念的性质或者概念之间关系的陈述。看这些书的过程就是不断接收新概念，并且根据这些概念的定义进行推理的过程。有时对一个刚刚接收的新概念还未了解透彻，便又碰到另一个新概念。而且由于数学已发展到高度专业化的程度，每当你接触一个以前未曾涉猎的题目，便会碰到一大批陌生的概念和符号，有时连这一领域的数学家的名字也未听过。夸张点说，真可以用「惊心动魄」来形容。
数学上有很多新概念是从旧概念推广(generalize)而来的，这一方面使学数者得以借助旧概念理解新概念，另一方面亦要求学数者能从不同的角度思考，辨别新旧概念之间的异同，因为新概念往往不是旧概念的简单推广 ，而是在对旧概念进行重新解释或突出旧概念某些点后作出的推广。
例如在点集拓扑学(Point-Set Topology)和分析学(Analysis)有一个「距离空间」(Metric Space)的概念，这里的「距离」(Metric)便是从平面几何学中两点之间的「距离」(Distance)推广而来的。可是Metric并不是 Distance的简单推广，而是从另一个角度考虑Distance的性质，并且突出了Distance的几个特性。首先，我们看到距离其实是平面上任意两点的一个函数(Function)，即任给两点的坐标，均存在唯一一个实数作为该两点间的Distance。由于Distance是一个函数，因此我们可以用一般函数的表示法把它表达为d(x, y)的形式，这里x和y是平面上任意两点，d就是Distance这个函数，而d(x, y)就是x与y之间的Distance。此外，我们还看到 d此一函数具备以下三大特性：(1)两点间的距离不为负数，而且两点间的距离为零当且仅当该两点重合，用数学符号表示就是
d(x, y) >= 0，并且d(x, y)=0当且仅当x = y；
(2)距离关系是对称(Symmetric)的，即任意两点x和y之间总满足
d(x, y)= d(y, x)；
(3)任何三角形其中两边的和总不少于第三边的长度，此即「三角不等式」(Triangle Inequality)，用数学符 号表示就是任给x, y, z三点，总有
d(x, y) + d(y, z) >= d(x, z)。
对Distance有了以上认识后，数学家便把Distance这一概念推广为Metric概念，即把Metric定义为某一集合中任意两个元素的函数，此一函数须具备以上(1)、(2)、(3)三个特性。经此一推广的Metric概念不再只是几何上的概念，而是一个适用于多种数学领域的抽象概念。例如，假设我们考虑所有以[0, 1]闭区间为定义域的有界连续实值(Bounded Continuous Real-Valued Function)函数，并把所有这些函数看成一个集合，那么这个集合的元素不再是平面上的点，而是一些函数(例如sin x、x2等)。为了避免混淆，这里使用f、g 等代表这个集合的元素。假如我们在这个集合上定义一个距离函数d，把d(f, g)(请注意这里的f和g不是点而是函数)定义为|f(x)-g(x)|在x属于[0, 1]范围内的最大值(或者更准确一些，是「上确界」Supremum)，那么可以证明这样定义的d符合有关距离函数的定义。由此我们见到，平面几何上的Distance概念可以推广用于几 何以外的数学对象。除了距离外，泛函分析(Functional Analysis)中的「范数」(Norm)和拓朴学中的「拓朴 」(Topology)概念也是采用类似方法从几何学的概念推广而来的。
有时有些新概念还须改变原有概念的思路，以突破原有概念的某些局限。勒贝格积分(Lebesgue Integral)便是从黎曼积分(Riemann Integral)的原有框架发展而来的。由于介绍勒贝格积分须涉及很多测度论(Measure Theory)的专门概念和知识(例如「测度空间」Measure Space、「可测函数」Measurable Function等)，这里只能很粗略地介绍这两种积分的基本原理，并且只限于讨论有界可测函数(Bounded Measurable Function)的积分。非常粗略地说，积分(这里是指「定积分」Definite Integral)是一个求「无限和」(Infinite Sum)的过程，即求积分范围(即定积分的上下限所组成的区间)内某连续函数的所有值的总和。由于连续函数在一般的定义域下有无限个值，而进行无限次相加是不可行的，因此求积分实际是只选取有限个函数值代表某范围内的函数值。这实际上是用有限个函数值近似表示无限个函数值的过程，随着选取的函数值越来越多，近似值的准确度便越来越高。当选取的值的数目趋向无限大时(此即微积分的求极限方法)，上述近似值便趋向于所要求的积分值。因此积分的本质就是选取函数值、然后求和(Summation)、再后取极限(Limit)的过程，上述两种积分的差别在于选取函数值的方法不同。
黎曼积分的基本原理是在积分范围(假定为区间[a, b])内选取n + 1个点(包括x0 = a、x1 、x2......xn-1和xn = b)，从而把积分范围分为n个子区间(Sub- interval)(见下图)。接着在每个子区间([xi, xi+1])内任意选取一点(zi )，并以f(zi)代表整个子区间的函数值。然后把f(zi)乘以该子区间的长度 xi+1 - xi(以下简记为Δi)，f(zi).Δi就是该 子区间内所有函数值总和的近似值。把所有子区间的f(zi).Δi加起来便可得有关函 数在积分范围内的所有函数值总和的近似值。最后取极限，如果极限存在，该极限值就是所要求的黎曼积分，写成数学式子就是
lim Σ (f(zi).Δi)
在上式中，lim代表取极限，有关极限是在n趋向无穷大而且子区间的最大长度趋向零时的极限；Σ则代表求和 ，即把括号中从i=0到i=n的所有值相加的运算(注2)。
黎曼积分的缺点是不能应用于某些不连续的函数，这大大限制了某些数学领域(例如傅立叶分析Fourier Analysis)的应用范围。为了弥补黎曼积分的不足，数学家们另辟蹊径，对黎曼积分的定义加以改造，此即勒贝格积分。勒贝格积分的基本原理与黎曼积分类似，两者的不同之处在于：黎曼积分是把自变量(Indendent Variable)的取值范围(即x轴上的范围)分割为子区间，而勒贝格积分则是把因变量(Dependent Variable)的取 值范围(即y轴上的范围)分割为子区间(见下图)。假设函数f在积分范围内的值满足c ，我们首先在 区间[c, d]内选取m + 1个点(包括y0 = c、y1、y2......ym-1 和ym = d)，从而把[c, d]分为m个半开半闭的子区间([yi, yi+1) )。接着在每个子区间内任意选取一点(wi)代表整个子区间的值。每个子区间[yi, yi+1)在积分范围内都有一个对应的逆(Inverse)：Ei = f -1 ([yi, yi+1)) =
lim Σ (yi.M(Ei))
上式中lim和Σ的意义和取值范围跟黎曼积分相仿(注3)。
数学家已证明所有黎曼可积(Riemann Integrable)的函数(即可计算其黎曼积分的函数)都是勒贝格可积( Lebegue Integrable)的，反之则不然，而且当两种积分均存在时，它们的值相等。由此可见，勒贝格积分确是黎曼积分的推广，它能解决一些黎曼积分不能解决的问题。
有时对于同一个课题，学数者不仅须学习一种理论或一种方法，还须学习其它理论或方法，因为不同的理论或 方法各有其着重点和特色，参考不同的理论或方法往往可使学数者扩阔视野，获得新的启发。例如著名的「代数学基本定理」(Fundamental Theorem of Algebra)便有多种不同的证明法，分别可以从代数学、分析学和几何-拓朴学的角度研究这同一个问题。如能考察这些不同的证明法，除了能从不同角度理解这条定理的意义外 ，亦能看到数学各学科的统一性。
从不同角度考察同一个问题往往还可以帮助数学家发掘新的理论，微积分便是一个很好的例子。牛顿(Newton) 最初创立微积分时是使用「无穷小量」(Infinitesimal)的概念的。虽然微积分能非常有效地解决一些实际的物理学问题，而且在其创立后获得了广泛应用和发展，但是由于无穷小量的概念相当模糊和不严谨，微积分一直缺乏坚实的理论基础，而且还常遭逅病，例如英国哲学家贝克莱(Berkeley)便曾批评无穷小量的定义有任意性。微积分的此一问题甚至构成数学史上有名的「第二次数学危机」。此一情况直至19世纪柯西(Cachy)建立 严格的实函数理论和魏尔施特拉斯(Weierstrass)创立一套用来表述极限的「ε-δ语言」(注4)。自此微积分( 以及以微积分为基础的整个分析学)便有了严格稳固的理论基础，「极限论」取代「无穷小量」成为微积分的基础。今天一般的大学微积分课程均以极限论作为基本的课程内容，此即今天所称的「标准分析」(Standard Analysis)。
极限论虽然圆满地解决了微积分的理论基础问题，并且化解了第二次数学危机，可是数学界并不以此为满足。 部分数学家仍然对无穷小量念念不忘，希望能建立无穷小量的严格理论。至20世纪60年代，罗宾逊(Robinson) 在引入「超实数」(Surreal Number)的概念后终于建立了严格的无穷小量理论，并据此构造了微积分的另一套理论，称为「非标准分析」(Non-Standard Analysis)，打破了极限论在微积分中一统天下的局面，并且恢复了无穷小量在微积分中的应有地位。此一事例告诉我们，知识探索(特别是数学的探索)是永无止境的。有时某些知识领域表面上看已发展成熟，再无发展余地，但若从另一个角度另辟蹊径，却可能创出一个新天地。
保持思想开通有助学数者接受新事物和新概念，相反，抱残守阙、故步自封则会令一个人难以接受新事物，甚至阻碍数学的进步。这一点在数学史上也不乏其例，非欧几里德几何(Non-Euclidean Geometry)的诞生便由于 人的成见而经历了一段沧桑史。非欧几里德几何是在否定著名的「欧几里德第五公设」的情况下产生的。众所周知，欧几里德(Euclid)是古希腊的伟大数学家。他的巨著《几何原本》不仅汇集和整理了当时已知的几何知识，而且还把这些知识表达为结构最严密的逻辑形式-公理系统。一个公理系统是以一些「不经定义的原始概念」(Undefined Concept)和「公理」(Axiom，有时又称「公设」Postulate)为出发点，运用正确的逻辑方法逐步引入其它「定义」(Definition)和「定理」(Theorem)。在公理系统中，原始概念和公理是原始的、是逻辑推理的起点，即原始概念是无需(亦无法)定义的，而公理则是无需(亦无法)证明的。相比之下，定义和定理则是派生的，即须根据正确的逻辑方法由原始概念和公理(或较早出现的定义和定理)推导或证明出来。
欧几里德建立的逻辑体系虽然被后世奉为用公理方法建构严密逻辑系统的典范，但它也并非全无瑕疵。事实上 ，在《几何原本》问世后数百年间，便有不少数学家指出欧几里德的逻辑系统在某些方面还未够严谨，例如它的某些证明含有直观(Intuition)因素，而不是纯粹从逻辑出发。不过最受争议的还是它的「第五公设」(俗称「平行公理」Parallel Axiom)(注5)。在《几何原本》中共有五个公设，前四个公设是关于点、线、圆和直角的性质，它们的表述方式都很直观简单。但是第五公设却很特殊，它的表述方式很复杂，而且并不直观(需要作图才能理解其含义)，令人怀疑它不是公理，而是一条定理(套用逻辑学的术语，这即是说欧几里德的公理不是互相独立的，某些公理可由其它公理推导出来)。在《几何原本》问世后，有很多数学家尝试用各种方法证明平行公理可由欧几里德的其它公理或定理推导出来，但结果都徒劳无功。后来有一些数学家尝试用反证法( Proof by Contradiction)，即假设平行公理不成立，希望据此推出一些与已有几何定理(在逻辑上不依赖于平行公理的几何定理)相矛盾的结果，从而证明平行公理。可是事与愿违，他们无法推出矛盾，这似乎告诉人们平行公理的确是一条独立的公理。如果真是这样，那么如果我们把平行公理换为它的其中一个否问题( Negative Statement)(注6)，
到19世纪，俄国数学家罗巴切夫斯基(Lobachevksy)(其实匈牙利数学家鲍耶依Bolyai和德国数学家高斯Gauss 在此时期也发现了新的几何学，不过罗巴切夫斯基是系统地阐述这种新几何的数学家，故一般以他作为发现新几何的代表人物)索性从平行公理的一个否命题出发，即假设过一直线L外一点有多于一条直线与L不相交，并据此构造了一个与欧几里德几何非常不同但却无矛盾的几何系统，宣告了「非欧几里德几何」的诞生。在这个系统中，有一些很奇特的结果，例如上述与L不相交的直线竟有无限多条，任何三角形的内角和均小于180度等 。请注意这种新几何的发现不是基于对宇宙的观测，也不是基于对某个实际问题的求解结果，而纯粹是逻辑推理的结果。因此它的诞生标志着人类抽象思维能力的成长-人类的理性思维(不包括幻想、精神病等)可以与现实世界的知识毫不相干，纯粹从抽象的逻辑概念和公理出发进行推理。没有这种成长，我们实难以想象其后数学和物理学的飞跃发展，尤其是那些需要与高度抽象的概念打交道的理论(注7)。
可是，由于这种新几何的结论跟千百年内人们所学习的几何知识以及人们在日常生活中的经验大相径庭，因此在当时不为世人所接受。人们难以想象在下图中除了直线M外，何以还有其它通过P点而与L不相交的直线，因为所有其它通过P的直线(例如N和O)终将与L相交。他们更无法想象如何可以根据上述这种「错误」的前提进行推理，并推出其它更「荒诞」的结论。这是因为每当人们想到直线和点，只会想象如下图那样的直线和点，欧几里德几何是那么符合人们的日常经验，要人们想象别的东西实在是非常困难。可是现代数学正就是在这种异乎寻常的推理和思考中建立起来的。
不过，在非欧几里德几何诞生后不足一百年，人们发现这种新几何其实也并非不可想象和毫无用处。事实上， 数学家克莱因(Klein)和庞加莱(Poincare)找到了可用来解释非欧几里德几何的模型(Model)。同时，另一位数学家黎曼(Riemann)则从平行公理的另一个否命题出发，即假设过一直线L外一点的所有直线均与L相交，并且修改了欧几里德几何中某些与此假设不兼容的前提，由此构造了另一种非欧几里德几何(注8)。在20世纪爱恩斯坦更在非欧几里德几何中找到了应用，他的相对论便需要用上非欧几里德几何的定理。而更重要的是，当代的宇宙学(Cosmology)发现，宇宙的几何结构很可能不是欧几里德几何所描述的那种结构，而是其中一种非欧几里德几何的结构。原来我们日常的习惯观念竟然不是最准确的，真理竟然存在于一些匪夷所思的理论中！
思想开通不仅在于乐于接受新概念，有时还在于了解和承认自身的局限性。从数学学习中，我们知道并非所有数学问题都有完满的答案，有些问题甚至连是否存在解答或者解答是否唯一也不知道。因此数学家除了研究如何解题外，还须研究某些存在性(Existence)和唯一性(Uniqueness)的问题。对于这些问题，有时会得出否定性的结论，例如五次或以上多项式方程是否存在一般的根式解的问题以及古希腊三大作图题(注9)等，这些问题的答案都是否定的。由于这些问题只涉及数学某一学科的某些具体问题，因此这些否定性结论对整体数学的影响不大。不过有一些否定性的结论却对数学(以至其它科学)有重大意义，这些结果都是在20世纪才发现的。
在19世纪末和20世纪初，数学在形式化和公理化方面取得巨大进展。在19世纪末，先有布尔(Boole)和弗雷格( Frege)设计了表达逻辑推理的符号系统，创立了数理逻辑，其后皮亚诺(Peano)又将这套符号系统应用于算( Arithmetic)，提出了算术的公理系统。当时数学界普遍有一种乐观的想法，认为可以把整个数学建立在稳固的逻辑基础上(包括集合论和数理逻辑)。在20世纪，数学家希尔伯特更提出「形式主义」(Formalism)纲领， 其要旨是先由算术的公理化出发，逐步把数学各学科建构为形式化的公理系统，以严格定义的形式语言表达数学的所有概念和真理，从而使数学达到立论严格、无懈可击的地步。与此相关的还有一个「判定性问题」( Decision Problem)，即设计一个算法，用来判定公理系统内的任何命题是否为真(即是否该公理系统内的定理 )，这又是多少年来数学家的梦想，因为如果能够设计这种算法，判断和寻找数学真理的工作便变成机械化的操作，无需再倚赖数学家的个人智能。在发明计算机后，更可交由计算机执行这种算法，从而实现「数学机械化」。
可是，在20世纪先后发生了一系列事件，粉碎了数学界一个个乐观想法和梦想。首先，在20世纪初，数学家兼哲学家罗素(Russell)提出著名的「罗素悖论」(Russell's Paradox)，指出集合论(Set Theory)中含有深刻的矛盾。由于集合论是数学的逻辑基础，可以说整个数学都可以用集合论的语言表述，因此罗素的发现震动了数学界，构成了所谓「第三次数学危机」。
可是罗素悖论的发现还只是事情的开始，在1930年代初，数理逻辑学家哥德尔(Godel)证明了两个「不完全性定理」(Incompleteness Theorem)，指出了形式主义纲领是不能实现的。前面提到形式主义纲领的目的是把数学建构为形式化的公理系统，可是问题的关键不仅在于构造这样的系统，而是在于这些公理系统必须具备某些重要性质，其中两个关键的性质是公理系统的「兼容性(Consistency，亦译作「无矛盾性」)和「完全性」( Completeness，亦译作「完备性」)。前者是指在公理系统中，不能既证明某命题为真，又能证明其为假。后者则是指对于任一在公理系统中有意义的命题，必能证明该命题为真或为假(请注意「真」和「可证明为真」 是两回事)。在这两种性质中，兼容性是更为重要的性质，因为一个有矛盾的公理系统是没有甚么价值的。因此除了建构形式化的公理系统外，数学家还须证明他们所建构的系统是兼容和完全的，而由于算术是其它数学学科的基础，因此须先证明算术的公理系统是兼容和完全的。可是哥德尔定理却指出，任何一个足够强的兼容的算术形式系统都是不完全的(注10)，即存在一些不能够在此系统内证明但却是真的定理(注11)，而算术系统的兼容性就正是不能在系统内证明的，换句话说，如果某足够强的算术系统是兼容的，则我们无法在该系统内证明该系统是兼容的。
哥德尔定理对数学(以至其它高度倚赖数学和逻辑学的学科)的重大意义在于它揭示了人类理性(特别是形式化思维)的局限性，它捣破了希尔伯特的美梦。套用数学家冯.诺伊曼(von Neumann，计算机原理的发明者)的话， 哥德尔定理与相对论和量子力学构成了现代人类的三个「观念危机」(Conceptual Crisis)，因为它告诉我们 ，数学并非如我们一直所想象的那样具有高度的确定性和严谨性。正如相对论和量子力学的出现粉碎了先前某些物理学家以为经典物理学(Classical Physics，主要包括牛顿力学和电磁理论)已概括了所有物理现像的乐观想法，哥德尔定理也粉碎了先前很多数学家以为他们可以建立一个包含所有数学知识(包括所有已知和未知但却是真的数学知识)的公理系统的乐观想法。
继哥德尔之后，图灵(Turing)在1930年代中叶研究了计算机程序的「停机问题」(Halting Problem)，证明了停机问题是不可解的，即不存在一种算法，可以用来判定任何计算机程序会否停止。由于停机问题跟上述的判定性问题密切相关，图灵事实上证明了判定性问题是不可解的，即不存在一种算法，可以用来自动判断任何数学命题是否为真。至此，前述数学界的各种乐观想法或梦想可说已不同程度地落了空。
到20世纪后期，柴廷(Chaitin)从信息论(Information Theory)和计算复杂性(Complexity of Computation)的角度研究与不完全性有关的问题，创立了「算法信息论」(Algorithmic Information Theory)。他指出公理系统的不完全性其实来源于数学真理的「随机性」(Randomness)，即公理系统只能说明小部分数学事实，而绝大多数数学事实都是没有逻辑结构的。虽然柴廷的思想至今未受数学界广泛重视，但是他的理论无疑是非常惊人的，因为根据他的理论，一向被认为绝对严格和精确的数学，原来竟是那么不确定的。此一结果真有点像量子力学的「测不准原理」(Uncertainty Pinciple)，其意义将是极其深远的。
20世纪可说是一个革命的世纪，除了各国政治上的革命外，各个学术思想领域也发生了革命性的变化，就连一向被认为具有真理确定性的数学竟也不例外。表面上看，罗素、哥德尔、图灵、柴廷等人的否定性发现似乎是消极的，但若果我们采取一种实事求是和开通的观点，那么我们便会看到，问题并不出在数学本身，而在于我们固有的定见和一直沿用的方法不能解决一切问题。既然这些固有的定见和方法不能解决某些问题，或许我们便要另辟蹊径，尝试从新的角度和采用新的方法研究问题。
事实上，在20世纪我们除了见到上述各种否定性结论外，也看到各种为了研究不确定的数学现像而兴起的新学科，例如「混沌理论」(Chaos Theory)、「非线性数学」(Non-Linear Mathematics)、「模糊数学」(Fuzzy Mathematics)等。而前述的数学家柴廷更指出，由于数学事实带有随机性，传统数学的公理方法乃至演绎法是不够用的，因此他主张仿照物理学等实验科学建立一种崭新的「实验数学」(Experimental Mathematics)，即根据数学实验结果归纳出数学事实，而非单纯用演绎法。这是一种相当革命性的思想，因为自从欧几里德以来数千年的数学传统均是采用演绎法。而事实上，自从发明计算机后，计算机已成为数学家研究和发现数学新事实以及进行数学实验的重要工具。姑勿论柴廷的主张是否会成为事实，但可以肯定的是，数学界只有保持思想开通，不宥于一种成见，才能保持活力，才能继续取得进步。
注1：其实数学中的很多公式或算法只能求得数值解(Numerical Solution)，即解的近似值。例如根据伽罗华 理论(Galois Theory)，一般的五次或以上的多项式方程不存在根式解(Surd Solution)，只能借助各种数值方 法求近似解。数学家一般都力求获得确切解(Exact Solution)，或者用解析式(Analytic Form)(即由数学上一 些常见的常数及函数组成的数式)迫近确切解，数值解是一种「次选」的解。
注2：上式只是黎曼积分多种定义的其中一种，另外一种定义是先求两个黎曼和(「上黎曼和」Upper Riemann Sum和「下黎曼和」Lower Riemann Sum)，然后各取其极限，分别得「上积分」(Upper Integral)和「下积分」 (Lower Integral)。如果两个极限的值相等，便称有关函数「可积」(Integrable)，其黎曼积分就是该相等的 极限值。
注3：上述定义只适用于有界可测函数，不过其它函数的勒贝格积分的定义都是从上述定义引申出来的。
注4：现时一般的微积分教科书均把函数的极限定义为：当自变量x趋向数值a时，函数值f(x)的极限为L，当且仅当，任给正实数ε，总存在正实数δ，使得当0时，有|f(x)-L|。微积分的其它概念如连续性( Continuity)、柯西数列(Cauchy Sequence)等的定义均类此，在数学上统称为「ε-δ语言」。
注5：由于在欧几里德之后有人证明第五公设等价于以下于命题：过一直线L外一点有且仅有一条直线与L不相交(即平行)，故后世俗称欧几里德的第五公设为「平行公理」。
注6：由于「有且仅有一条直线」的否定既可以是「有多于一条直线」，也可以是「没有直线」，因此平行公理有两个否命题：「过一直线L外一点有多于一条直线与L不相交」和「过一直线L外一点的所有直线均与L相交 」。基于这两个否命题可得出两种不同的非欧几里德几何。
注7：例如爱恩斯坦的相对论除了著名的「米切尔森-莫莱实验」(Michelson-Morley Experiment)结果外，便主要是基于他的「理想实验」(Thought Experiment)，即推理结果。而走在当代物理学最前端的「超弦理论」 (Superstring Theory)也主要是靠数学推理而非实验建立起来的。
注8：为了区分两种非欧几里德几何，人们把较早出现的一种称为「罗巴切夫斯基几何」，把另一种称为「黎曼几何」。
注9：古希腊三大作图题是指三条只限用圆规和没有刻度的直尺作图的题目，这三条题目分别是「三等分角」( 即把任意角分为三等份)、「化圆为方」(即求作一个正方形，使其面积等于给定圆形的面积)和「倍立方」(即 求作一个立方体的边，使该立方体的面积等于给定立方体面积的两倍。根据抽象代数学，这三大作图题都是不 可解的。
注10：希尔伯特证明了某种很弱的算术公理系统(只包含自然数的加数)是兼容和完全的，但由于这种系统太狭窄，因此不符合形式主义纲领所要达到的目标。
注11：所谓「在此系统内证明」是指根据此系统的原始概念和公理，以及由此引申出来的定义和定理进行证明 。