学习知识,是一个很享受的过程。
尤其是那些自己以前听没听过,但是却又是非常神奇的一种思想的时候。
今天上午学习了,快速概率测素数的算法------MillerRobin(),适用于测试单个素数,出错概率比计算机本身出错的概率还要低
为(1/4)^(s),一般s取50就可以认为是准确测试出了。
算法是基于费马小定理(format),二次探测定理(x*x % p == 1 ,若P为素数,则x的解只能是x = 1或者x = p - 1)加上迭代乘法判断的Miller算法
共同构成的。我觉得我要讲起来证明必然会贻笑大方。看下面别人给出的证明及思想吧。
费尔马小定理:如果p是一个素数,且0<a<p,则a^(p-1)%p=1.
利用费尔马小定理,对于给定的整数n,可以设计素数判定算法,通过 计算d=a^(n-1)%n来判断n的素性,当d!=1时,n肯定不是素数,当d=1时,n 很可能是素数.
二次探测定理:如果p是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或 x=p-1.
利用二次探测定理,可以再利用费尔马小定理计算a^(n-1)%n的过程 中增加对整数n的二次探测,一旦发现违背二次探测条件,即得出n不是素数的结论.
如果n是素数,则(n-1)必是偶数,因此可令(n-1)=m*(2^q),其中m是正奇数( 若n是偶数,则上面的m*(2^q)一定可以分解成一个正奇数乘以2的k次方的形式 ),q是非负整数,考察下面的测试:
序列:
a^m%n; a^(2m)%n; a^(4m)%n; …… ;a^(m*2^q)%n
把上述测试序列叫做Miller测试,关于Miller测试,有下面的定理:
定理:若n是素数,a是小于n的正整数,则n对以a为基的Miller测试,结果为真.
Miller测试进行k次,将合数当成素数处理的错误概率最多不会超过4^(-k).
我只给出我的代码,我觉得我的还是比较简洁的,呵呵,如果有不足,请指出,共同进步,谢谢 0.-!
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <time.h> #include <iostream> #include <string> using namespace std; int N; int witness(int a, int n)//随机生成的a,来检测n的素性 { int ans = 1; int t = n - 1;//这里需要注意,你如果没有改变乘方的次数的话,最后的判断就是(ans == a) ? 0 : 1; // 并且还要另外开辟空间来存储开始的a,比较麻烦,所以就这样了; int x; while (t) { if (t & 1) { ans = (long long int)ans * a % n; } x = a;//从这里开始就是迭代乘法,验证二次验证定理 a = (long long int)a * a % n;//这里就相当于 x*x % m = 1 if (a == 1 && x != 1 && x != (n - 1)) { return 1; // 这里需要注意,返回一的话就说明,追踪过程中,出现了不是素数的依据. } t >>= 1; } return (ans == 1) ? 0 : 1; } int MillerRobin(int n, int s) // 一般s取50就可以避免所有的偶然性了. { if (n == 2) { return 1; } if (n < 2 || !(n & 1)) { return 0; } int a; for (int i = 0; i < s; i++) { a = (long long int )rand() * (n - 2) / RAND_MAX + 1; //这样生成的随机数就是真正的随机数了 if (witness(a, n)) { return 0; } } return 1; } int main() { while (scanf("%d", &N) != EOF) { if (N == 0) { break; } if (MillerRobin(N, 50)) { printf("%d is a prime!\n", N); } else { printf("%d is not a prime!\n", N); } } // system("pause"); return 0; }