欧拉回路与欧拉道路
图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为欧拉(Euler)回路。
如果一个图只是形成一个连通所有节点的链，且每一点只走一次，则成为欧拉道路。
具有欧拉回路或欧拉道路的图称为欧拉图（简称E图）。
有向图的欧拉回路
一个有向图存在欧拉回路的前提条件是这个图是个连通图，其次要求其每个点的入度等于出度，或者其中有一个点的出度比入度大1，另一个点的入度比出度大一这样就存在一条欧拉回路。
如果其每个点的入度等于出度则从任意一点出发，可以走出一条欧拉回路，如果是第二种情况，则必须从出度大于入度 1 的点出发到入度大于出度 1 的点结束，走出一条欧拉道路。
无向图的欧拉回路
跟有向图一样，首先必须连通，其次如果最多只有两个奇点。则满足欧拉回路或欧拉道路，有奇点就从任意一个奇点出发找科形成一条欧拉道路，否则从任意一点出发都能找出欧拉回路。（注意：百度百科上是错的）
如果只是判断一个图是否能够形成欧拉回路的话，就用上面的思路：
首先根据出度跟入度的关系，判断是否满足要求
然后用判断图的连通性可以用并查集或者Dfs如果要求路径的话可以用Dfs
要是需要求出欧拉路径，就用下面这个函数。
下面这个程序，是通过遍历一个图来求其欧拉回路或欧拉道路的。如果需要打印欧拉道路，在主程序中调用，参数必须是道路的起点，另外说明的是，这样打印出来是逆序的，因此在使用的时候，应该用栈压入栈中，还有就是其对无向图和有向图遍历都有用。其实这个算法跟最小生成树prim里面每次求连接上一边最小权值的边算法一样，这个只是那个算法的一个简化。可根据那个进行理解。
void euler(int u)
{
for(int v=0;v<n;v++)
{
if(map[u][v] && !vis[u][v])
{
vis[u][v] = vis[v][u] = 1;//如果是有向图的只需判断一个
euler(v);
printf("%d %d\n",u,v);
}
}
}
uva10054
- The Necklace
这个题题意很容易理解，一个链子断了，链子上的珠子两边分别有两个值，要把所有珠子链起来的话任意两个相邻的珠子的值必须相等才行，另外要说的是第二组数据是一组很好的数据。可根据其推出是用无向图，首先判断是否满足每个点都是偶点（因为是回路，不是道路）。然后利用上面欧拉代码遍历输出即可。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <stack>
#define Max 60
using namespace std;
int map[Max][Max];
int in[Max];
struct E{ int u, v; } tmp;
stack <E> st;
void euler( int u )
{
for ( int v = 1; v < n; ++v ) if ( map[u][v] )
{
map[u][v]--; map[v][u] = map[u][v];
euler( v );
tmp.u = u, tmp.v = v;
st.push(tmp);
}
}
int main()
{
int n,T,a,b;
scanf("%d",&T);
for(int cas=1;cas<=T;cas++)
{
scanf("%d",&n);
memset(map,0,sizeof(map));
memset(in,0,sizeof(in));
//memset(out,0,sizeof(out));
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
++in[a];++in[b];
++map[a][b];
map[b][a]=map[a][b];
}
bool ok=true;
for(int i=0;i<=50;i++)
{
if(in[i]%2)
ok=false;
}
printf("Case #%d\n",cas);
if(!ok)
printf("some beads may be lost\n");
else
{
euler(a);
while ( !st.empty() ) {
tmp = st.top(); st.pop();
printf("%d %d\n", tmp.u, tmp.v);
}
}
printf("\n");
}
return 0;
}
UVA10129 - Play on Words 这道题题意是给出n个单词，让每个点此的首字母指向未字母形成连通，这样形成一个有向图，求这个有向图的欧拉回路。
思想就是：首先读入图，然后根据出度和入度判断是否满足，单手Dfs判断连通性。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
int visit[26],a[26][26];
void dfs(int x)
{
int i;
visit[x]=0;
for (i=0;i<26;i++)
if ((visit[i]==1)&&(a[x][i]==1)) dfs(i);
}
int main()
{
int f,t,k1,k2,num,n,i,j,l,in[26],out[26];
char s[1010];
scanf("%d",&t);
while (t--)
{
memset(a,0,sizeof(a));
for (i=0;i<26;i++)
{in[i]=0; out[i]=0; visit[i]=0;}
scanf("%d\n",&n);
while (n--)
{
gets(s); l=strlen(s);
k1=s[0]-'a'; k2=s[l-1]-'a';
++in[k1]; ++out[k2];
visit[k1]=1; visit[k2]=1;
a[k1][k2]=1;
num=k1;
}
for (i=0;i<26;i++)
in[i]=in[i]-out[i];
f=0; k1=0; k2=0;
for (i=0;i<26;i++)
{
if (in[i]==-1) ++k1;
else if (in[i]==1) {++k2;num=i;} //因为是有向图，如果不是欧拉回路的情况，随便找个点为起点dfs不一定能遍历所有点，如3 a b b c c d只能以a为起点否则就会判断连通性错误
else if (in[i]!=0) f=1;
}
if (f==0)
{
if ((k1+k2==0) || ((k1==1)&&(k2==1)))
{
dfs(num);
for (i=0;i<26;i++)
f+=visit[i];
}
else f=1;
}
if (f!=0) printf("The door cannot be opened.\n");
else printf("Ordering is possible.\n");
}
return 0;
}