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前言：

这道题是一道非常常见的面试题，也是一道能够考察一个人的编程能力和算法的一道题。如果要求复杂度为 O(k), 是比较容易做出来的，但是，一般来讲，面试官要求给出更低复杂度的算法。网上有很多不同的解法，但是，总的来讲，那些程序考虑的因素太多，比较难懂，而且结构很乱。在这里写出自己的方法。本文的算法复杂度为 O(lg K)。 

PS. 如果你没有见过这个题目，并且能够在30分钟内写出没有bug的，复杂度为 O(lg K) 的程序，我愿意拜你为师，呵呵。

问题：

给定两个已经排序的数组（假设按照升序排列），然后找出第K小的数。比如数组A = {1， 8， 10， 20}， B = {5， 9， 22， 110}， 第 3 小的数是 8.

分析：

### 最好自己先动手写一写，然后再看后面的分析，因为自己写过一遍以后，才能发现这个程序的难处在哪里。###

因为两个数组已经排序了，所以，要找出第 k 小的值，我们可以给每个数组设置一个“指针”， 比如pa， pb。在初始状态，两个指针分别指向第一个起始值，即pa = 0， pb = 0。然后，我们开始进行比较，如果A数组的值比B数组的值小， 把A数组的指针pa向前移动，然后再进行比较。每次移动，我们都能够得到当前第 i 小的值（随着pa,pb 的移动，i 会逐渐变大）。

比如对于数组A = {1， 8， 10， 20}， B = {5， 9， 22， 110}，初始时，pa = 0; pb = 0，因为(A[pa] = 1) < (B[pb] = 5), 所以，第 1 小的值为 1，这个时候，我们会把 pa 向右移动，即 pa = 1, 并且 pb 保持不变: pb = 0. 然后再次比较A[pa] 和 B[pb] 的值，因为  (A[pa] = 8) > (B[pb] = 5), 所以，第 2 小的值是 5, 然后，我们增加 pb 的值。请注意，如果我们用一个变量来保存当前第
i 小的值 (随着pa, pb的移动，i 的值也会增加，那个变量保存的值也会改变)。那么，当pa + pb = k 的时候，那么那个变量保存的一定是第 k 小的值。

这里要注意的是，当一个数组的指针已经“到头”了，这个时候怎么进行越界处理呢？如果我们用if 来处理，在程序里会有一大堆的 if 判断语句，太难看了。我们这里可以用一个简单的判断语句就可以处理了。

			int Ai = (pa == A.length) ? Integer.MAX_VALUE : A[pa];
			int Bj = (pb == B.length) ? Integer.MAX_VALUE : B[pb];

（上面这个语句太牛逼了，但很可惜不是我自己写的，这是向人家学的。）有了这个语句，我们不用任何if语句，而且，最最重要的是，我们可以从一开始就用这个语句来确定A[pa]和B[pb]的值，所以，从头到尾，不会有任何的改变，也不会有越界的情况出现（为何不会越界？看完后面的代码就知道了。）。

好了，有了上面的分析，下面的代码就不难理解了。

public static int kthTwoSortedArray(int[] A, int[] B, int k) throws Exception {
	
	if (k > A.length + B.length || k < 1) throw new Exception("out of range!");
	
	// pointer of array A
	int pa = 0;
	// pointer of array B
	int pb = 0;
	//store the kth value
	int kthValue = 0;
	
	while (pa + pb != k) {
		int Ai = (pa == A.length) ? Integer.MAX_VALUE : A[pa];
		int Bj = (pb == B.length) ? Integer.MAX_VALUE : B[pb];
		
		if (Ai < Bj) {
			pa++;
			kthValue = Ai;
		} else {
			pb++;
			kthValue = Bj;
		}
	}
	return kthValue;
}

上面这个程序的复杂度是O(k)，分析很简单，就不再讲了。

现在再来看如何得到 O(lg K) 的算法。

在上面的程序里，我们是逐一比较数组A 和数组B的值，但是，这样做还是太慢了，因为两个数组是已经排过序的，我们完全可以利用二分查找的方法来解决这样的问题。但是具体介绍怎么做之前，先讲一些预备知识。

对于数组A 、 B ， 如果 B[pb] < A[pa] && B[pb] > A[pa - 1], 那么 B[pb] 一定是第 pa + pb + 1  小的数。 比如数组A = {1， 8， 10， 20}， B = {5， 9， 22， 110}， pa = 2, pb = 1, 这时，(B[pb] = 9) < (A[pa] =10) && (B[pb] = 9) > (A[pa - 1] = 8) ，那么，B[pb] = 9 一定是第 pa+pb+1 = 4
小的数。 换一句话说，如果我们要找第 k 小的数，那么, pa + pb  = k - 1。而且，B[pb] < A[pa] && B[pb] > A[pa - 1] 或者 A[pa] < B[pb] && A[pa] > B[pb - 1] 中的其中一个必须成立。 如果不成立， 我们需要移动pa 和 pb 的位置来使得其中的一个式子成立 （参看代码）。这是本题算法的本质。

但是，这里也会出现”边界“问题，比如，k = 1, 那么 pa + pb  = 1 - 1, 即 pa + pb = 0. 因为 pa >= 0, pb >=0, 所以，我们得到 pa = 0, pb = 0. 那么这样的话， 求A [pa-1]值的时候 就会有exception. 同理，对于数组A = {1， 8， 10， 20}， B = {5， 9， 22， 110}，当k = 8 的时候， pa + pb  = 8 - 1, 即 pa + pb = 7, 但是，pa <= 3, pb <= 3。边界的处理是这道题最最麻烦的地方。对于这个问题，我们用下面这段代码来解决。

		int Ai_1 = (pa == 0) ? Integer.MIN_VALUE : A[pa-1];
		int Bj_1 = (pb == 0) ? Integer.MIN_VALUE : B[pb-1];
		int Ai   = (pa == A.length) ? Integer.MAX_VALUE : A[pa];
		int Bj   = (pb == B.length) ? Integer.MAX_VALUE : B[pb];

通过上面这段代码，我们实际上是把数组延长了，每个数组多了两个值Integer.MIN_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 这样，当pa = 0 是，我们也可以得到A[pa - 1] 的值：Ai_1 = ((pa == 0) ? Integer.MIN_VALUE : A[pa-1]); 当 pa =  A.length 时，我们可以得到 A[pa]的值：Ai = (pa == A.length) ? Integer.MAX_VALUE : A[pa]。 这样，我们就不用担心越界的问题了。

有了上面的分析，代码就容易写出来了。

在程序里，我们设置 pa 的初始值为Math.min(A.length, k - 1)，然后，通过增加或者减少pa 的值，来使得 B[pb] < A[pa] && B[pb] > A[pa - 1] 或者 A[pa] < B[pb] && A[pa] > B[pb - 1]  成立，代码中, delta 指的是 pa 的变化量，每次递归以后，delta的值变成一半。 

public class FindKthSmallestValue {
	
	public static int findKthSmallest(int[] A, int[] B, int pa, int delta, int k) {

		int pb = (k - 1) - pa;
	
		int Ai_1 = ((pa == 0) ? Integer.MIN_VALUE : A[pa-1]);
		int Bj_1 = ((pb == 0) ? Integer.MIN_VALUE : B[pb-1]);
		int Ai   = ((pa == A.length) ? Integer.MAX_VALUE : A[pa]);
		int Bj   = ((pb == B.length) ? Integer.MAX_VALUE : B[pb]);
		
		//满足其中之一条件，就返回
		if (Bj_1 <= Ai && Ai <= Bj) return Ai;
		if (Ai_1 <= Bj && Bj <= Ai) return Bj;
		
		//delta表示pa的变化量（增加或者减少）
		//如果 Ai > Bj, 我们要缩小pa的值，即 pa = pa - delta
		//因为 pb = (k - 1) - pa, 所以，如果delta的值太大，
		//pa会变得很小，因而 可能会导致 pb > B.length. 所以需要处理一下。
		// 对于pa = pa + delta 的处理也是一样
		if (Ai > Bj) {
			pa = ((k - 1) - (pa - delta) > B.length) ? k - 1 - B.length : pa - delta;
			return findKthSmallest(A, B, pa, (delta + 1) / 2, k);
		} else {
			pa = (pa + delta > A.length) ? A.length : pa + delta;
			return findKthSmallest(A, B, pa, (delta + 1) / 2, k);			
		}
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		int[] A = {1, 8, 8, 10, 20};
		int[] B = {5, 8, 8, 9, 22, 110};
		
		int k = 7;
		int pa = Math.min(A.length, k - 1);
		System.out.println(findKthSmallest(A, B, pa, (pa + 1) / 2, k));
	}
}

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