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并查集详解

2017年07月14日 ⁄ 综合 ⁄ 共 5002字 ⁄ 字号 评论关闭

以下并查集的介绍为转载:

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并查集是我暑假从高手那里学到的一招,觉得真是太精妙的设计了。以前我无法解决的一类问题竟然可以用如此简单高效的方法搞定。不分享出来真是对不起party了。(party:我靠,关我嘛事啊?我跟你很熟么?)

来看一个实例,杭电1232畅通工程 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1232

首先在地图上给你若干个城镇,这些城镇都可以看作点,然后告诉你哪些对城镇之间是有道路直接相连的。最后要解决的是整幅图的连通性问题。比如随意给你两个点,让你判断它们是否连通,或者问你整幅图一共有几个连通分支,也就是被分成了几个互相独立的块。像畅通工程这题,问还需要修几条路,实质就是求有几个连通分支。如果是1个连通分支,说明整幅图上的点都连起来了,不用再修路了;如果是2个连通分支,则只要再修1条路,从两个分支中各选一个点,把它们连起来,那么所有的点都是连起来的了;如果是3个连通分支,则只要再修两条路……

以下面这组数据输入数据来说明

4 2 1 3 4 3

第一行告诉你,一共有4个点,2条路。下面两行告诉你,1、3之间有条路,4、3之间有条路。那么整幅图就被分成了1-3-4和2两部分。只要再加一条路,把2和其他任意一个点连起来,畅通工程就实现了,那么这个这组数据的输出结果就是1。好了,现在编程实现这个功能吧,城镇有几百个,路有不知道多少条,而且可能有回路。
这可如何是好?

我以前也不会呀,自从用了并查集之后,嗨,效果还真好!我们全家都用它!

并查集由一个整数型的数组和两个函数构成。数组pre[]记录了每个点的前导点是什么,函数find是查找,join是合并。

int pre[1000 ];

int find(int x){ //查找根节点

int r=x; while (pre[r ]!=r) r=pre[r ]; //路径压缩

int i=x; int j; while(i!=r) { j=pre[i ]; pre[i ]=r;
i=j; } //返回根节点

return r;

void join(int x,int y) { //判断x y是否连通

//如果已经连通,就不用管了 //如果不连通,就把它们所在的连通分支合并起,

int fx=find(x),fy=find(y);

if(fx!=fy) pre[fx ]=fy; }

为了解释并查集的原理,我将举一个更有爱的例子。 话说江湖上散落着各式各样的大侠,有上千个之多。他们没有什么正当职业,整天背着剑在外面走来走去,碰到和自己不是一路人的,就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气,绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”,只要是能通过朋友关系串联起来的,不管拐了多少个弯,都认为是自己人。这样一来,江湖上就形成了一个一个的群落,通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人,无论如何都无法通过朋友关系连起来,于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人,如何判断是否属于一个朋友圈呢?

我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人,作为该圈子的代表人物,这样,每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人,就可以确定敌友关系了。

但是还有问题啊,大侠们只知道自己直接的朋友是谁,很多人压根就不认识队长,要判断自己的队长是谁,只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去:“你是不是队长?你是不是队长?”这样一来,队长面子上挂不住了,而且效率太低,还有可能陷入无限循环中。于是队长下令,重新组队。队内所有人实行分等级制度,形成树状结构,我队长就是根节点,下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候,只要一层层向上问,直到最高层,就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通,至于他们是如何连通的,以及每个圈子内部的结构是怎样的,甚至队长是谁,并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队,只要不搞错敌友关系就好了。于是,门派产生了。

http://i3.6.cn/cvbnm/6f/ec/f4/1e9cfcd3def64d26ed1a49d72c1f6db9.jpg


下面我们来看并查集的实现。 int pre[1000]; 这个数组,记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号(依据题意而定),pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己,那说明他就是掌门人了,查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的,比如欧阳锋,那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁?不认识!要想知道自己的掌门是谁,只能一级级查上去。
find这个函数就是找掌门用的,意义再清楚不过了(路径压缩算法先不论,后面再说)。

int find(int x) { //查找根节点

int r=x; while (pre[r ]!=r)//如果我的上级不是掌门

r=pre[r ];//我就接着找他的上级,直到找到掌门为止。

//返回根节点

return r;//掌门驾到~~~

} 再来看看join函数,就是在两个点之间连一条线,这样一来,原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办,画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的,一共只有一个pre[]数组,该如何实现呢?
还是举江湖的例子,假设现在武林中的形势如图所示。虚竹小和尚与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物,他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太,那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架,就对他俩说:“你们两位拉拉勾,做好朋友吧。”他们看在我的面子上,同意了。这一同意可非同小可,整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化,可如何实现呀,要改动多少地方?其实非常简单,我对玄慈方丈说:“大师,麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来,两派原先的所有人员的终极boss都是师太,那还打个球啊!反正我们关心的只是连通性,门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了:“我靠,凭什么是我变成她手下呀,怎么不反过来?我抗议!”抗议无效,上天安排的,最大。反正谁加入谁效果是一样的,我就随手指定了一个。这段函数的意思很明白了吧?

void join(int x,int y)//我想让虚竹和周芷若做朋友

{ int fx=find(x),fy=find(y); //虚竹的老大是玄慈,

芷若MM的老大是灭绝

if(fx!=fy)//玄慈和灭绝显然不是同一个人

pre[fx ]=fy;//方丈只好委委屈屈地当了师太的手下啦

}

再来看看路径压缩算法。建立门派的过程是用join函数两个人两个人地连接起来的,谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么胎唇样,我也完全无法预计,一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门,一共就两级结构,只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到,也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。
设想这样一个场景:两个互不相识的大侠碰面了,想知道能不能揍。 于是赶紧打电话问自己的上级:“你是不是掌门?” 上级说:“我不是呀,我的上级是谁谁谁,你问问他看看。” 一路问下去,原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀,原来是记己人,西礼西礼,在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会,在下九营十八组仙子狗尾巴花!” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等,两位同学请留步,还有事情没完成呢!”我叫住他俩。 “哦,对了,还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长:“组长啊,我查过了,其习偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起及接拜在曹公公手下吧,省得级别太低,以后查找掌门麻环。”
“唔,有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样,查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理,所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。路径压缩的代码,看得懂很好,看不懂也没关系,直接抄上用就行了。总之它所实现的功能就是这么个意思。

http://i3.6.cn/cvbnm/60/98/92/745b3eac68181e4ee1fa8d1b8bca38bc.jpg


回到开头提出的问题,我的代码如下:

#include int pre[1000 ];

int find(int x) {

int r=x;

while (pre[r ]!=r)

r=pre[r ];

int i=x; int j;

while(i!=r)

{

j=pre[i ]; pre[i ]=r; i=j;

}

return r;

}

int main()

{ int n,m,p1,p2,i,total,f1,f2;

while(scanf("%d",&n) && n)//读入n,如果n为0,结束
{ //刚开始的时候,有n个城镇,一条路都没有 //那么要修n-1条路才能把它们连起来

total=n-1;

//每个点互相独立,自成一个集合,从1编号到n //所以每个点的上级都是自己

for(i=1;i<=n;i++) { pre[i ]=i;
} //共有m条路

scanf("%d",&m); while(m--) { //下面这段代码,其实就是join函数,只是稍作改动以适应题目要求

//每读入一条路,看它的端点p1,p2是否已经在一个连通分支里了

scanf("%d %d",&p1,&p2);

f1=find(p1); f2=find(p2);

//如果是不连通的,那么把这两个分支连起来

//分支的总数就减少了1,还需建的路也就减了1

if(f1!=f2) { pre[f2 ]=f1; total--;

}

//如果两点已经连通了,那么这条路只是在图上增加了一个环 //对连通性没有任何影响,无视掉

}

//最后输出还要修的路条数

printf("%d\n",total); } return
0;

}


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poj 1611 http://poj.org/problem?id=1611

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include <queue>
#include<string.h>
using namespace std;
int pre[30005];
int num[30005];
void makeSet(int n)
{
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		num[i]=1;
		pre[i]=i;
	}
}
int findSet(int m)
{
	if(pre[m]!=m)
		pre[m]=findSet(pre[m]);//特别注意此处的压缩 ~\(≧▽≦)/~ 与m=findSet(pre[m]);还是有区别的
	return pre[m];
}
void unionSet(int m,int n)
{
	int mm=findSet(m);
	int nn=findSet(n);
	if(mm==nn)
		return;
	if(num[mm]>num[nn])//压缩层次
	{
		pre[nn]=mm;
		num[mm]+=num[nn];
	}
	else
	{
		pre[mm]=nn;
		num[nn]+=num[mm];
	}
}
int main()
{
	int n,m;
	while(scanf("%d%d",&n,&m)&&(n+m))
	{
		makeSet(n);
		while(m--)
		{
			int len,fr,sc;
			cin>>len>>fr;
			for(int i=1;i<len;i++)
			{
				cin>>sc;
				unionSet(fr,sc);
			}
		}
		cout<<num[findSet(0)]<<endl;
	}
}

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