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线性代数:矩阵行列式

2012年08月12日 ⁄ 综合 ⁄ 共 954字 ⁄ 字号 评论关闭

1、矩阵的行列式定义
矩阵的行列式,determinate,是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量;
二维矩阵[{a,c},{b,d}]的行列式等于:det(A) = ab-cd。

2、n维矩阵的行列式
假设矩阵A为n维的方阵,定义Aij为从A中删除第i行、第j列之后剩下的n-1维方阵。
可以沿着A的第一行来求取行列式:det(A) = a11*A11-a12*A12+...+a1n*A1n,这是一个递归的定义,包含n项,每一项的正负号等于 (-1)的(i+j)次方。
实际上可以对A的任意一行、任意一列按上面的方法来求取行列式,可以挑选包含0比较多得行(列)。

3、矩阵标量乘法的行列式
当矩阵的某一行(列)与标量相乘时,det(A') = k*det(A);
当矩阵与标量相乘时,det(kA) = k的n次方 * det(A)。

4、矩阵行列式的一些规律
1)如果矩阵A= {r1,r2,...ri...,rn} B={r1,r2,...ri',...rn} C={r1,r2,...ri+ri',...rn},则有det(C) = det(A)+det(B)
2)如果矩阵A有两行(列)相等则,det(A) = 0
3)如果矩阵A将两行交换后得到矩阵B,则有det(A)=-det(B)
4)如果矩阵A进行行变换后得到矩阵B,则有det(A)=det(B);可以通过行变换达到3)的效果,这个过程中会发生-1数乘某行。

5、上三角矩阵的行列式
所谓上三角矩阵,就是对角线以下的位置全部为零(aij=0 if i>j);
上三角矩阵的行列式等于  a11*a22*...*ann;
基于这个特性,可以通过行变换,把矩阵转换为上三角矩阵,再求行列式。

6、行列式与平行四边形面积
两个二维向量v1,v2,可以作为平行四边形的临边来定义一个平行四边形。两个向量构成矩阵A={v1,v2},那么平行四边形的面积 = det(A)的绝对值。

7、行列式作为面积因子
任意一个几何形状,面积为S;假如经过线性变换A,得到新的线性变换,则新几何形状的面积= S*det(A)的绝对值。

8、转置矩阵行列式
矩阵Am*n,如果将Aij与Aji的位置进行交换,得到一个新矩阵Bn*m,则B称值为A的转置矩阵。可见转置矩阵也是相互的,AB互为转置矩阵。
如果A、B互为转置矩阵,则有 det(A) = det(B)

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