1、向量变换
向量变换是从一个向量空间到另一个（或者同一个）向量空间的函数。
在向量的世界里，这个函数就叫做变换，一般用符号T表示。
2、线性变换
对于一个向量变换：T:Rm->Rn，如果满足T(A+B) = T(A)+T(B)和T(cA)=cT(A)，变换T是线性变换。
3、矩阵向量乘法
基于矩阵Amn,可以定义变换T(x) = Ax，T是一个Rm->Rn的线性变换。
4、矩阵表示向量变换
任何线性变换都可以通过矩阵向量乘法的形式来表示。
对于变换T(x)，假设X是n维的，那么有对应的单位矩阵In=[e1,e2,...,en]，ei是列向量。有矩阵向量乘法IX = e1x1+e2x3+...+enxn = X，
于是T(x) = T(e1x1+...+enxn) = T(e1x1)+...+T(enxn) = T(e1)x1+...+T(en)xn = [T(e1),T(e2),...,T(en)]X，
可以见T(x)总可以表示为矩阵向量乘法的形式，而且上面的证明也给出了该矩阵的求取方式。
5、向量子集在变换下的像
假设位置向量V0,V1,那么连接V0,V1之间的向量集合可以表示为 {V0+t(V1-V0) | 0<=t<=1}，
对其中任意一个位置向量的线性变换T(Vt) = T(V0+t(V1-v0) = T(V0) +t(T(V1)-T(V0))，这可以看出变换后的向量集其实是从T(V0)到T(V1)线段。
这个特性充分说明，对一个几何图形做线性变换时，只需要对相关的顶点做线性变换即可，变换后，按同样的方式重构几何图形。
6、子空间在变换下的像
子空间在变换下的像，即变换后的向量集合 = {T(x) }，依据线性变换的定义可能证明这个新的向量集合也是一个向量子空间。
而且通过4可知，这个子空间实际就是那个变换矩阵的列空间。
7、变换的核
对于变换的值域或像的某个具体成员向量，映射到这个向量的定义域子集，可以通过矩阵方程求出。
比如T(x) = AX，求出 Ax = Y的解空间就是映射到Y的定义域子集。
如果Y=0，此时这个子集叫做变换的核，记作Kert(T)，可知核实际就是A的零空间。
8、变换的加法和数乘
变换T(x)=Ax，S(x)=Bx，由于总可以通过变换矩阵来表示，因此可以有 (T+S)(x) = T(x)+S(x)；T(cx) = (cT)(x)，c为标量。
9、反转和缩放变换
第4节阐述了如何计算变换对应的矩阵。对于反转和缩放变换来说，可以更加简单。比如要对向量的第k个分量做反转，只需要将ek乘以-1即可；而缩放则将ek乘以缩放的比例即可。 反转缩放变换对应的矩阵必然是一个对角矩阵。
10、R2下的旋转变换
在二维向量空间，将向量逆时针旋转某个角度a。按第4节的方法，(1,0)旋转a后，变成(cosa,sina)；(0,1)旋转a后，变成(-sina,cosa)。得出变换矩阵[(cosa,sina),(-sina,cosa)]。
11、R3下的旋转变换
在三维向量空间，向量的旋转必须指明围绕另外某个向量。假设围绕x轴旋转，那么旋转的变换矩阵可计算得到[(1,0,0),(0,cosa,sina),(0,-sina,cosa)]。围绕y轴、z轴的旋转可以用类似的方法计算。而围绕任意向量的旋转，则可以转化为围绕x、y、z轴的多次旋转组合。
12、单位向量
长度为1的向量可称之为单位向量，某个向量V，如果不是单位向量，可以转化为同向的单位向量 (1/||V||)V。
13、投影介绍
向量A在另一个向量B上的投影，可以理解为垂直B的光线照射下，向量A在B方向上的阴影。这个投影显然也是一个向量，为cB(c为标量）。
从A的终点做一个垂直向量至B的方向上，假设为L。则A，cB，L构成一个三角，有 L=A-CB, cB.L=0。 可以求出 c = A.B/ ||B||平方。
B可以先转化成单位向量，于是A在B上的投影为 A.B*B。
14、投影矩阵
通过线性变换的定义，可以证明，13节所述的投影变换是一种线性变换。那么可以表示为矩阵的形式。
假设投影的目标向量V是单位举证，投影变换可以表示为T(X) = X.V*V，那么依据第4节的计算方法，变换矩阵为[(v1.v1,v1v2) (v1.v2,v2.v2)]
15、复合变换
复合变换指的是两个线性变换的组合，组合值对一个向量X进行变换T得到X’，对X‘进行另一个变换S的到X''，那么两个变换的组合ToS(X) = X''。
可以证明ToS仍然是一个线性变换。
那么ToS的变化矩阵是多少，假设T(X) = Ax, S(x) = Bx，那么ToS = B(Ax) = (BA)x。
16、矩阵乘法的结合律和分配率
矩阵A、B、C，有A(BC) = (AB)C， 有 A(B+C) = AB+AC。证明过程略。