1、矩阵零空间
对于矩阵A，所有满足AV=0,的向量V组成的集合N，可以证明N包含零向量，切对线性运算封闭，因此N是一个向量子空间，这个子空间叫做矩阵A的零空间。
求矩阵的零空间，就是求方程组 AX = 0 的解空间。
矩阵可以看做一组列向量 C1,C2,...,Cn，那么如果这组向量是线性无关的，那么AX=0的解空间只包含一个向量：零向量。反之，如果零空间包含非零向量，说明矩阵的列向量线性相关。
2、矩阵列空间
矩阵列向量所张成的空间span(C1,C2,...,Cn)叫做矩阵列空间。这个向量子空间={Ax | x取任意值}。
判断一个向量V，是否是矩阵列空间的成员，相当于判断 Ax = V,是否有解。
3、向量空间的基包含的向量个数是固定的
向量空间具有无数组基，每组基具备相同的向量个数。
证明：向量集合A={a1,a2,a3,...,an}是向量的一组基，向量集合B={b1,b2,...,bm}也是同样子空间的基，满足span(B)=span(A)。
只要能证明m>=n即可，反过来就可以证明n>=m。
第一步：构造一个新的集合B1' = {a1,b1,b2,...,bm}，a1可以表示为B的线性组合，a1 = c1b1+c2b2+...+cmbm，ci必然有一个不为0，那么有bi=其他向量的线性组合，不管i的值如何，形式上我们可以将bi与b1交换，然后将b1，移除，不会影响到span（B1')。于是我们得到一个新的向量集合B1 = {a1,b2,...,bm}，且span(B1)=span(A)。
第二步：构造新的集合B2‘ = {a1,a2,b2,...bm}，a2 = c1a1+c2b2+...+cmbm，由于A是向量子空间的基，a2不能由a1的线性组合来表示，因此c2...cm必然不全为零，假设ci不等于0，那么bi=B2'其他向量的线性组合，不管i的值如何，形式上我们可以将bi与b2交换，于是我们得到一个新的向量集合B2 = {a1,a2,b3,...,bm}，且span(B2)=span(A)。
继续上面的步骤，假设m<n,可以得到 Bm = {a1,a2,...,am}，这说明an可以表示为Bm的向量组合，这是不可能的。
向量空间基所包含的向量个数也就是子空间的维度。
4、零度
矩阵零空间的度，叫做矩阵的零度。
5、矩阵列空间的基
求取矩阵列空间的基，可以把矩阵转化为简化行阶梯型，然后找出主列。简化阶梯型的主列对应的原矩阵的列就是矩阵列向量的基。
证明：1、在求矩阵零空间的时候可知，Ax=0与 rref(A)x=0有相同的解，因此简化阶梯型主列对应的原矩阵的列是线性无关的。
2、同样的道理，rref(A)x=0的解空间可以得到，对应非主列位置，不为零的解，进而可知非主列可以表示为朱列的线性组合。