1、线性组合
对于n维向量组{V1,V2,V3,...,Vk}，如果取任意的实数c1,c2,c3,...ck，则向量 V‘ = c1*V1+c2*V2+...+ck*Vk是向量组的一个线性组合，所谓线性就是指通过加法和数乘运算进行组合。
2、向量张成的向量空间
向量组所有的线性组合所组成的向量集合，称之为向量组张成的向量空间。向量V1，V2张成的向量空间可记为span(V1,V2)。
假设V1是二维向量，那么span(V1) = {cV1} 就是一条直线。
V2也是二维向量，那么span(V1,V2) = R2，前提是V1，V2的方向不一致。
span(V1,V2) = R2,因为R2中的任意一个向量都可以表示为c1*V1+c2*V2，但是中表示方法不会很直观。一般通过两个正交的单位向量(1,0)和(0,1)来表示。
3、线性无关
向量v1，v2,...,Vk，如果任意一个向量都不可以表示为其他向量的线性组合，则称这一组向量是线性无关的，否则称之线性相关。
从span(V1,V2,...,Vk)的角度考虑，如果这组向量不是线性无关的，那么其中必然存在多余的向量，扣除这些多余的向量，span不会发生任何变化。
线性无关一个等价的定义是，对于向量组v1，v2,...,Vk，不存在实数c1,c2,...,ck(ci不全为0)使得c1*v1+c2*v2+,...,+ck*vk=0成立。如果将向量展开，就可以得到一个k元的方程组，这个定义就转化成“方程组不存在非零解"，这样就可以通过解方程的形式来计算一个向量组是不是线性无关的。
4、Rn的线性子空间
Rn是所有n维向量的集合，那么子空间就是Rn的一个子集。
如果V是Rn的一个子集，而且对于任意的v1,v2,...,vk，其线性组合仍然是V的成员（即，V对数乘，加法运算保持封闭性），称V是Rn的子空间。又称线性子空间。
任意向量张成的的空间必然是Rn的子空间。
5、子空间的基
对于子空间span（v1,v2,...,vn)，如果v1,v2,...,vn是线性无关的，那么可以称v1,v2,...,vn是子空间的基。换言之，子空间的基是一组最小的可以张成子空间的向量集。
对于子空间的任意向量可以唯一地表示为基的一个向量线性组合。
子空间有不止一组基，实际上有无数组。