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§4.3　连通分支

　　本节重点:

　　掌握连通分支的定义(即连通”类”的分法)；

　　掌握连通分支的性质(定理4.3.1)．

　　从前面两节中的内容可以看出，知道一个拓扑空间是否连通给我们处理一些问题带来很大的方便．这导致我们去考察一个我们并不知道是否连通的拓扑空间中的“最大”连通子集（即连通分支）．

　　定义4.3.1　设X是一个拓扑空间，x，y∈X．如果X中有一个连通子集同时包含x和y，我们则称点x和y是连通的．(注意:是点连通)

　　根据定义可见，如果x，y，z都是拓扑空间X中的点，则

　　（1）x和x连通（因为每一个单点集都是连通子集）；

　　（2）如果x和y连通，则y和x也连通；（显然）

　　（3）如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通．（这是因为，这时存在X中的连通子集A和B使得x，y∈A和y，z∈B．从而由于y∈A∩B可见A∪B连通，并且x，z∈A∪B．因此x和z连通．）

　　以上结论归结为：拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系．

　　定义4.3.2　设X是一个拓扑空间．对于X中的点的连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X的一个连通分支．

　　如果Y是拓扑空间X的一个子集．Y作为X的子空间的每一个连通分支称为X的子集Y的一个连通分支．

　　拓扑空间X≠的每一个连通分支都不是空集；X的不同的连通分支无交；以及X的所有连通分支之并便是X本身．此外，x，y∈X属于X的同一个连通分支当且仅当x和y连通．

　　拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个连通分支当且仅当A有一个连通子集同时包含点x和y．

　　定理4.3.1　设X是一个拓扑空间，C是拓扑空间X的一个连通分支．则

　　（1）如果Y是X的一个连通子集，并且Y∩C≠；

　　（2）C是一个连通子集；

　　（3）C是一个闭集．

　　本定理中的条件（1）和（2）说明，拓扑空间的每一个连通分支都是X的一个最大的连通子集．

　　证明 （1）任意选取x∈Y∩C．对于任何y∈Y由于x和y连通，故y∈C．这证明YC．

　　（2）对于任何x，y∈C，根据定义可见，存在X的一个连通子集使得x，y∈．显然∩C≠，故根据（1），C．应用定理4．1．7可知，C是连通的．

　　（3）因为C连通，根据定理4．1．5，连通．显然，．所以根据（1），．从而C是一个闭集．

　　但是，一般说来连通分支可以不是开集．例如考虑有理数集Q（作为实数空间R的子空间）．设x，y∈Q，x≠y．不失一般性，设x＜y．如果Q的一个子集E同时包含x和y，令A=(-∞，r)∩E和B=(r，∞)∩E，其中r是任何一个无理数，x＜r＜y．此时易见A和B都是Q的非空开集，并且E＝A∪B．因此E不连通．以上论述说明E中任何一个包含着多于两个点的集合都是不连通的，也就是说，Q的连通分支都是单点集．然而易见Q中的每一个单点集都不是开集．

　　记住这个事实:任一个集合A都可以由含于它内部的所有连通分支的并而成(且这些连通分支互不相交)．即使是离散空间,它的每一个点自成连通分支,这个结论也成立．