§6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理
本节重点:
掌握Urysohn引理的内容(证明不要求)；
掌握定理6.3.2的证明方法．
定理6.3.1 [Urysohn引理]设X是一个拓扑空间，[a，b]是一个闭区间．则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射f:X→[a，b]使得当x∈A时f(x)=a和当x∈B时f(x)=b．
证明(略)
定理6.3.2 
空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集．
证明 设C是
空间X中的一个连通子集．如果C不只包含着一个点，任意选取，x,y∈X,x≠y,对于
空间X中的两个无交的闭集{x}和{y}，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)=0,f(y)=1． 由于C是X中一个连通子集，因此f（X）也连通．由于0，1∈f（X），因此f（X）=[0,1]．由于[0,1]是一个不可数集，因此C也是一个不可数集．