在一类问题中，我们需要经常处理可以映射在一个坐标轴上的一些固定线段，例如说映射在 OX 轴上的线段。由于线段是可以互相覆盖的，有时需要动态地取线段的并，例如取得并区间的总长度，或者并区间的个数等等。一个线段是对应于一个区间的，因此线段树也可以叫做区间树。
1.1 线段树的构造思想
线段树处理的是一定的固定线段，或者说这些线段是可以对应于有限个固定端点的。处理问题的时候，首先抽象出区间的端点，例如说 N 个端点 ti(1 ≤ i ≤ N) 。那么对于任何一个要处理的线段（区间） [a,b] 来说，总可以找到相应的 i,j ，使得 ti=a,tj=b,1 ≤ i ≤ j ≤ N 。这样的转换就使得线段树上的区间表示为整数，通过映射转换，可以使得原问题实数区间得到同样的处理。下图显示了一个能够表示 [1 ， 10] 的线段树：
线段树是一棵二叉树，树中的每一个结点表示了一个区间 [a,b] 。每一个叶子节点上 a+1=b, 这表示了一个初等区间。对于每一个内部结点 b-a>1 ，设根为 [a,b] 的线段树为 T(a,b), 则进一步将此线段树分为左子树 T(a,(a+b)/2), 以及右子树 T((a+b)/2,b), 直到分裂为一个初等区间为止。
线段树的平分构造，实际上是用了二分的方法。线段树是平衡树，它的深度为 lg(b-a) 。
如果采用动态的数据结构来实现线段树，结点的构造可以用如下数据结构：
Type
Tnode=^Treenode;
Treenode=record
B,E:integer;
Count:integer;
LeftChild,Rightchild:Tnode;
End;
其中 B 和 E 表示了该区间为 [B,E] ； Count 为一个计数器，通常记录覆盖到此区间的线段的个数。 LeftChild 和 RightChild 分别是左右子树的根。
或者为了方便，我们也采用静态的数据结构。用数组 B[] ， E[] ， C[] ， LSON[] ， RSON[] 。设一棵线段树的根为 v 。那么 B[v],E[v] 就是它所表示区间的界。 C[v] 仍然用来作计数器。 LSON[v] ， RSON[v] 分别表示了它的左儿子和右儿子的根编号。
注意，这只是线段树的基本结构。通常利用线段树的时候需要在每个结点上增加一些特殊的数据域，并且它们是随线段的插入删除进行动态维护的。 这因题而异，同时又往往是解题的灵魂。
1.2 线段树处理数据的基本方法
线段树的最基本的建立，插入和删除的过程，以静态数据结构为例。
建立线段树（ a,b ） :
设一个全局变量 n ，来记录一共用到了多少结点。开始 n=0
procedure BUILD(a,b)
begin
n ← n+1//n 记录一共用到了多少结点
v ← n
B[v] ← a
E[v] ← b
C[v] ← 0
if b – a>1 then
begin
LSON[v] ← n+1 // 节点编号
BUILD(a,) // 注意 N 在这里变化了
RSON[v] ← n+1// 节点编号
BUILD( ,b)
end
end
将区间 [c,d] 插入线段树 T(a,b), 并设 T(a,b) 的根编号为 v ：
procedure INSERT(c,d;v)
begin
if c≤B[v] and E[v] ≤ d then C[v] ← C[v]+1
else if c then INSERT(c,d;RSON[v]);
end// 如果跨区间了 我们将看到两次插入
对于此算法的解释：如果 [c ， d] 完全覆盖了当前线段，那么显然该结点上的基数（即覆盖线段数）加 1 。否则，如果 [c ， d] 不跨越区间中点，就只对左树或者右树上进行插入。否则，在左树和右树上都要进行插入。注意观察插入的路径，一条待插入区间在某一个结点上进行“跨越”，此后两条子树上都要向下插入，但是这种跨越不可能多次发生。插入区间的时间复杂度是 O(logn) 。
在线段上树删除一个区间与插入的方法几乎是完全类似的：
将区间 [c,d] 删除于线段树 T(a,b), 并设 T(a,b) 的根编号为 v ：
procedure DELETE(c,d;v)
begin
if c≤B[v] and E[v] ≤ d then C[v] ← C[v]-1
else if c then DELETE(c,d;RSON[v]);
end
特别注意 ：只有曾经插入过的区间才能够进行删除。这样才能保证线段树的维护是正确的。例如，在先前所示的线段树上不能插入区间 [1 ， 10] ，然后删除区间 [2 ， 3] ，这显然是不能得到正确结果的。
线段树的作用主要体现在可以动态维护一些特征，例如说要得到线段树上线段并集的长度，增加一个数据域 M[v] ，讨论：
如果 C[v]>0,M[v] = E[v]-B[v]; //yes
C[v]=0 且 v 是叶子结点， M[v]=0 ；
C[v]=0 且 v 是内部结点， M[v]=M[LSON[v]]+M[RSON[v]];
只要每次插入或删除线段区间时，在访问到的结点上更新 M 的值，不妨称之为 UPDATA ，就可以在插入和删除的同时维持好 M 。求整个线段树的并集长度时，只要访问 M[ ROOT] 的值。这在许多动态维护的题目中是非常有用的，它使得每次操作的维护费用只有 logn 。
类似的，还有求并区间的个数等等。这里不再深入列举。
1.3 应用的优势
线段树的构造主要是对区间线段的处理，它往往被应用于几何计算问题中。比如说处理一组矩形问题时，可以用来求矩形并图后的轮廓周长和面积等等，比普通的离散化效率更高。这些应用可以在相关资料中查到。这里不作深入。
1.4 转化为对点的操作
线段树处理的是区间线段的问题，有些统计问题处理的往往是点的问题。而点也是可以理解为特殊的区间的。这时往往将线段树的构造进行变形，也就是说可以转化为记录点的结构。
变形：
将线段树上的初等区间分裂为具体的点，用来计数。即不存在 (a,a+1) 这样的区间，每个点分裂为 a 和 a+1 。同时按照区间的中点分界时，点要么落在左子树上，要么落在右子树上。如下图：
原线段数记录基数的 C[v] 这时就可以用来计算落在定区间内的点个数了。原搜索路径也发生了改变，不存在“跨越”的情况。同时插入每个点的时候都必须深入到叶结点，因此一般来说都要有 logn 的复杂度。
应用这样的线段树一方面是方便计数。另一方面由于它实际上是排序二叉树，所以容易找出最大和最小来。下面就看一个找最大最小的例子。
[ 例一 ]PROMOTION 问题（ POI0015 ）
问题大意：
一位顾客要进行 n （ 1 ≤ n ≤ 5000 ）天的购物，每天他会有一些帐单。每天购物以后，他从以前的所有帐单中挑出两张帐单，分别是面额最大的和面额最小的一张，并把这两张帐单从记录中去掉。剩下的帐单留在以后继续统计。输入的数据保证，所有 n 天的帐单总数不超过 1000000 ，并且每份帐单的面额值是 1 到 1000000 之间的整数。保证每天总可以找到两张帐单。
解决方法：
本题明显地体现了动态维护的特性，即每天都要插入一些面额随机的帐单，同时还要找出最大和最小的两张。不妨建立前面所说的线段树，这棵线段树的范围是 [1 ， 1000000] ，即我们把所有面额的帐单设为一个点。插入和删除一份帐单是显然的。如何找到最大的帐单呢？显然，对于一个树 v 来说，如果 C[LSON[v]]>0, 那么树 v 中的最小值一定在它的左子树上。同样，如果 C[RSON[v]]>0 ，它的最大值在右子树上；否则，如果 C[LSON[v]]=0 ，那么最大最小的两份帐单都在右子树上。所以线段树的计数其实为我们提供了线索。显然对于一个特定面额来说。它的插入，删除，查找路径是相同的，长度为树的深度，即 log1000000=20 。如果总共有 N 张帐单，那么考虑极限时的复杂度为 N*20+n*20*2 。这比普通排序的实现要简单得多。普通排序是 (N*n*20);
本题还可以采取巧妙的办法，线段树不一定要存帐单的具体面额。由于我们对 1000000 种面额都进行了保存，所以线段树显得比较庞大。采取一种方法：我们用 hash 来保存每一种面额的帐单数目，然后对于一个具体的帐单，例如面额为 V ，我们在线段树中保存 V/100 的值，也就是说，我们把连续的 100 种面额的帐单看成是一组。由于 V 的范围是 [1..1000000] ，所以线段树中有 10000 个点。在找最大的数的时候，首先找到最小的组，然后在 hash 里对这个组进行搜索，显然这个搜索的规模不会超过 100 。由于线段树变小了，所以树的深度只有 14 左右，整个问题的复杂度极限为 N*14+n*14*100*2 ，对于问题的规模来说，仍然是高效率的。但这样做比前种方法在一定程度上节省了空间。同时实际上也提醒了我们对线段树应该加以灵活的应用。
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