前言（Preface）
前段时间有些朋友在论坛里问到一些关于3D数学的知识，就想为大家写点这方面的文章。由于之前比较忙，又遇到过春节，所以最近才着笔写了这篇文章，希望大家喜欢。这些内容主要是一些理论知识，看上去难免有些枯燥，之后的文章我会加入一些实例进行讲解的。如果内容存在错误和不全，就请你来更正和添加了。
三维坐标系（3D
Coordinate System）
三维坐标是把二维的平面坐标推广到三维空间中，在三维坐标中，点（x,y,z）的齐次坐标为（nx,ny,nz,n），其中n为任意不为0的数，规范化的齐次坐标为（x,y,z,1），与之相对应，三维变换的变换矩阵为4×4矩阵。
在三维空间中，我们通常使用右手坐标系（Right-Handed Coordinate System），因为它符合数学上的习惯，而在计算机图形学中，我们会使用左手坐标系（Left-Handed
Coordinate System），因为它比较符合日常习惯。其实，我们可以任意的旋转这些坐标系，而图形仍然保持不变。常见的坐标系如下：
本地坐标系：相对于对象的原点的3D坐标系
世界坐标系：相对于3D世界的原点三维坐标系
对齐(视点)坐标系：世界坐标系的变换，观察者的位置在世界坐标系的原点。
屏幕坐标系：相对于显示器的原点的2D坐标系
点（Point）
点是在某一个坐标系中使用坐标值指定的位置。因此，点到坐标原点之间的距离与坐标系的选择有关。点P在坐标系A中的坐标为（0,0,0），而在坐标系B中的坐标则为（x,y,z）。
向量（Vector）
向量是指两点的差值，具有大小和方向，即给定两点，就能唯一确定一个向量，向量的大小和方向与坐标系的选择无关。向量V=（Vx,Vy,Vz）=P1P2=（x2-x1,y2-y1,z2-z1）其中，Vx，Vy和Vz分别为向量V在x，y和z轴上的投影，称为向量V的x分量（x
component），y分量（y component）和z分量（z component）。该向量的大小为：
向量V与x，y和z轴形成的方向角（Direction Angle）：α，β和γ，其中cosα，cosβ和cosγ称为方向余弦（Direction Cosine）。
向量加法：V1+V2=（V1x+V2x,V1y+V2y,V1z+V2z）
向量标量乘：aA=（aVx,aVy,aVz）
向量标量积：V1·V2=
V1x+V2x,V1y+V2y,V1z+V2z
向量积（*积）：V1×V2=（V1yV2z-V1zV1y,V1zV2x-V1xV2z,V1xV2y-V1yV2z）
=|Ux
Uy Uz|
|V1x
V1y V1z|
|V2x
V2y V2z|
注：其中Ux,Uy,Uz分别表示沿x轴，y轴和z轴的单位向量。在以后的编程中，我们经常会用到向量积。
矩阵（Matrix）
矩阵是由若干个数值构成的矩形阵列，这些数值通常为实数，称为矩阵的元素。如果一个矩阵的行和列数相同，我们则称该矩阵为方阵（Square
Matrix），而只有一行或者一列的矩阵用常用向量表示，例如：[x,y,z]称为行向量（Row Vector），
|x|
|y| 则称为列向量（Colume Vector）。
|z|
矩阵加法：|A11
A12 A13|
|B11 B12
B13| | A11+
B11 A12+
B12 A13+
B13|
|A21
A22 A23|
+ |B21 B22
B23| = | A21+
B21 A22+
B22 A23+
B23|
|A31
A32 A33| |B31
B32 B33|
| A31+ B31
A32+ B32
A33+ B33|
矩阵标量乘： |A11
A12 A13|
|nA11 nA12
nA13|
n |A21
A22 A23|
= |nA21 nA22
nA23|
|A31
A32 A33|
|nA31 nA32
nA33|
矩阵变换（Matrix
Transform）
三维平移的矩阵表示为：
[x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | 1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 |
| 0
0 1 0 |
| tx ty tz 1 |
三维缩放的矩阵表示为：
[x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | sz 0 0 0 |
| 0 sy 0 0 |
| 0
0 sx 0 |
| 0 0 0 1 |
绕x轴旋转的矩阵表示为：
[x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | 1 0 0 0 |
| 0 cosα sinα 0 |
| 0
-sinα cosα 0 |
| 0
0 0 1 |
绕y轴旋转的矩阵表示为：
[x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | cosα 0 -sinα 0 |
|
0 1 0 0 |
| sinα 0 cosα 0 |
|
0 0 0 1 |
绕z轴旋转的矩阵表示为：
[x`,y`,z`,1]=[x,y,z,1] | cosα sinα 0 0 |
|
-sinα cosα 0 0 |
|
0 0 1 0 |
| 0 0 0 1 |
反射（Reflection）
反射变换也称为对称（Symmetric）变换或镜像（Mirror Image）变换，三维反射变换可以相对于反射轴（Reflection Axis）进行，也可以相对于反射平面进行。相对于反射轴的三维反射变换是通过将图形绕反射轴旋转180°来实现的。
相对于xy平面的反射变换矩阵为：
| 1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 |
| 0 0 1 0 |
| 0 0 0 1 |
相对于yz平面的反射变换矩阵为：
|-1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 |
| 0 0 1 0 |
| 0 0 0 1 |
相对于zx平面的反射变换矩阵为：
| 1 0 0 0 |
| 0 -1 0 0 |
| 0 0 1 0 |
| 0 0 0 1 |
错切（Shear）
错切变换会改变图形的形状。
相对于x轴的错切变换矩阵为：
| 1 0 0 0 |
| shY
1 0 0 |
| shz
0 1 0 |
| 0 0 0 1 |
相对于y轴的错切变换矩阵为：
| 1 shX 0
0 |
| 0 1 0 0 |
| 0 shz
1 0 |
| 0 0 0 1 |
相对于z轴的错切变换矩阵为：
| 1 0 shX
0 |
| 0 1 shY
0 |
| 0 0 1 0 |
| 0 0 0 1 |
从简单的平移、缩放和旋转等可以延伸到复合平移、复合缩放、复合旋转、固定点缩放等概念，这