终止状态是从初始状态由开关组合影响而形成的,那么就有一个等式使得初始状态可以到达终止状态,
例如a,b,c三个开关
E[a] = (xa * mp[a][a]) ^ (xb * mp[a][b]) ^ (xc*map[a][c]) ^ S[a]
E[b] = (xa * mp[b][a]) ^ (xb * mp[b][b]) ^ (xc*map[b][c]) ^ S[b]
E[c] = (xa * mp[c ][a]) ^ (xb * mp[c][b]) ^ (xc*map[c][c]) ^ S[c]
E数组为开关的终止状态(a,b,c为开关),S数组为开关的初始状态,mp[i][j] 代表j开关是否影响i开关。x为变元
根据上面的方程装换成高斯方程组
换成矩阵形式:
mp[a][a] mp[a][b] map[a][c] E[a ]^ S[a]
mp[b][a] mp[b][b] map[b][c] E[b] ^ S[b]
mp[c ][a] mp[c][b] map[c][c] E[c] ^ S[c ]
转换成行阶梯型矩阵,然后求出矩阵的秩,矩阵的秩即为不变元的个数,剩下的就是自由元的个数。
不变元就是,我们将开关由初始状态变为终止状态所必须要动的开关,而自由元就是我们不一定要动的开关。
因此,我们能到达终止状态的方案就是2的自由元次幂的个数,因为每个开关只有0,1两种状态。
注意求解是异或运算。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; #define MAXN 50 int a[MAXN], e[MAXN]; int n; void swap(int &a,int &b){ int t = a; a = b; b = t; } struct Matrix{ int mp[MAXN][MAXN]; void rswap(int x,int y){//将x行的元素与y行的元素互换 for(int j = 1; j <= n+1; j++){ swap(mp[x][j],mp[y][j]); } } void relax(int x, int y){//用x行的元素消掉y行的元素,一般为第一个非零元 for(int j = 1; j <= n+1; j ++){ mp[y][j] ^= mp[x][j]; } } void init(){//初始化 memset(mp,0,sizeof(mp)); for(int i = 1; i <= n ;i++){//自己可以改变自己 mp[i][i] = 1; } } }M; void Gauss(){ int i, j, k, ptr; for(i = 1, j= 1; j <= n; ++i, ++j){//形成行阶梯型矩阵,从第一行第一列开始,逐列递增 for(ptr = i; ptr <= n ; ptr++){//找出第一个是非零元的行 if(M.mp[ptr][j]){ break; } } if(ptr == n+1){//如果这一列所有行都是零元,则跳过这一列 --i; continue; } if(ptr != i){//如果第一个是非零元的行不是当前行,则与其互换位置 M.rswap(ptr,i); } for(k = i+1; k <= n; k++ ){//用当前的行当前列的值对下面所有行当前列的值进行消除,使其为0,以满足行阶梯型 if(!M.mp[k][j]){//如果是0,则跳过 continue; } M.relax(i,k);//不是,则消除。 } } for( k = i; k <= n; k++){//处理完所有列(为n,n+1为答案列不用计算)之后,也就是现在mp数组就是行阶梯型了,那么看零行的答案是否都为0,有不为0,即是无解。 if(M.mp[k][n+1] != 0){ printf("Oh,it's impossible~!!\n"); return ; } } printf("%d\n",1<<(n-i+1));//有多少零行就有多少自由元,输出结果 return; } int main() { int Case , s, t; s = 1; t = 2; swap(s,t); scanf("%d",&Case); while(Case--){ scanf("%d",&n); M.init();//初始化矩阵 for(int i = 1; i <= n; i++){//初始状态读入 scanf("%d",&a[i]); } for(int i = 1; i <= n; i++){//终止状态读入 scanf("%d",&e[i]); M.mp[i][n+1] = a[i] ^ e[i];//增广矩阵 } while(scanf("%d%d",&s,&t),s|t){//相互影响的开关读入 M.mp[t][s] = 1; } Gauss(); } return 0; }