HDU 3571 高斯消元法
高斯消元法,可用来求解线性方程组,并可以求出矩阵的秩,以及求出可逆方阵的逆矩阵。
高斯消元法的原理是:
若用初等行变换将增广矩阵 ,则AX = B与CX = D是同解方程组。
所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵,然后回代求出方程的解。
首先,先介绍程序中高斯消元法的步骤:
(我们设方程组中方程的个数为equ,变元的个数为var,注意:一般情况下是n个方程,n个变元)
1. 把方程组转换成增广矩阵。
2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。
枚举k从0到equ-1,当前处理的列为col(初始为0) ,每次找第k行以下(包括第k行),
col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。如果col列中的元素全为0,
那么则处理col+1列,k不变。
3. 转换为行阶梯阵,判断解的情况。
① 无解
当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式,且a != 0时,说明是无解的。
② 唯一解
条件是k=equ,即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。利用回代逐一求出解集。
③ 无穷解。
条件是k<equ,即不能形成严格的上三角形,自由变元的个数即为equ–k,
但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。
这里单独介绍下这种解法:
首先,自由变元有var - k个,即不确定的变元至少有var-k个。
我们先把所有的变元视为不确定的。在每个方程中判断不确定变元的个数,
如果大于1个,则该方程无法求解。如果只有1个变元,那么该变元即可求出,即为确定变元。
以上介绍的是求解整数线性方程组的求法,复杂度是O(n3)。浮点数线性方程组的求法类似,
但是要在判断是否为0时,加入EPS,以消除精度问题。
这里提供下自己写的还算满意的求解整数线性方程组的模板(浮点数类似,就不提供了)~~ /* 用于求整数解得方程组. */ #include <iostream> #include <string> #include <cmath> using namespace std; const int maxn = 105; int equ, var; // 有equ个方程,var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1,列数为var + 1,分别为0到var. int a[maxn][maxn]; int x[maxn]; // 解集. bool free_x[maxn]; // 判断是否是不确定的变元. int free_num; void Debug(void) { int i, j; for (i = 0; i < equ; i++) { for (j = 0; j < var + 1; j++) { cout << a[i][j] << " "; } cout << endl; } cout << endl; } inline int gcd(int a, int b) { int t; while (b != 0) { t = b; b = a % b; a = t; } return a; } inline int lcm(int a, int b) { return a * b / gcd(a, b); } // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解,但无整数解,-1表示无解,0表示唯一解,大于0表示无穷解,并返回自由变元的个数) int Gauss(void) { int i, j, k; int max_r; // 当前这列绝对值最大的行. int col; // 当前处理的列. int ta, tb; int LCM; int temp; int free_x_num; int free_index; // 转换为阶梯阵. col = 0; // 当前处理的列. for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++) { // 枚举当前处理的行. // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差) max_r = k; for (i = k + 1; i < equ; i++) { if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i; } if (max_r != k) { // 与第k行交换. for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]); } if (a[k][col] == 0) { // 说明该col列第k行以下全是0了,则处理当前行的下一列. k--; continue; } for (i = k + 1; i < equ; i++) { // 枚举要删去的行. if (a[i][col] != 0) { LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col])); ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]); if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加. for (j = col; j < var + 1; j++) { a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb; } } } } Debug(); // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0). for (i = k; i < equ; i++) { // 对于无穷解来说,如果要判断哪些是自由变元,那么初等行变换中的交换就会影响,则要记录交换. if (a[i][col] != 0) return -1; } // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行,即说明没有形成严格的上三角阵. // 且出现的行数即为自由变元的个数. if (k < var) { // 首先,自由变元有var - k个,即不确定的变元至少有var - k个. for (i = k - 1; i >= 0; i--) { // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况,因为这样的行是在第k行到第equ行. // 同样,第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况,这样的无解的. free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数,如果超过1个,则无法求解,它们仍然为不确定的变元. for (j = 0; j < var; j++) { if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j; } if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元. // 说明就只有一个不确定的变元free_index,那么可以求解出该变元,且该变元是确定的. temp = a[i][var]; for (j = 0; j < var; j++) { if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j]; } x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元. free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的. } return var - k; // 自由变元有var - k个. } // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵. // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0. for (i = var - 1; i >= 0; i--) { temp = a[i][var]; for (j = i + 1; j < var; j++) { if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j]; } if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解,但无整数解. x[i] = temp / a[i][i]; } return 0; } int main(void) { freopen("Input.txt", "r", stdin); int i, j; while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF) { memset(a, 0, sizeof(a)); memset(x, 0, sizeof(x)); memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元. for (i = 0; i < equ; i++) { for (j = 0; j < var + 1; j++) { scanf("%d", &a[i][j]); } } // Debug(); free_num = Gauss(); if (free_num == -1) printf("无解!\n"); else if (free_num == -2) printf("有浮点数解,无整数解!\n"); else if (free_num > 0) { printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num); for (i = 0; i < var; i++) { if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1); else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]); } } else { for (i = 0; i < var; i++) { printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]); } } printf("\n"); } return 0; }
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