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马尔可夫决策过程

2018年04月08日 ⁄ 综合 ⁄ 共 2296字 ⁄ 字号小中大 ⁄ 评论关闭

马尔可夫过程

出自 MBA智库百科(http://wiki.mbalib.com/)

马尔可夫过程（Markov Process）

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什么是马尔可夫过程

　　1、马尔可夫性(无后效性)

　　过程或（系统）在时刻 $t 0$ 所处的状态为已知的条件下，过程在时刻 $t > t 0$ 所处状态的条件分布，与过程在时刻 $t 0$ 之前年处的状态无关的特性称为马尔可夫性或无后效性。

　　即：过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。

　　2、马尔可夫过程的定义

　　具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程。

　　用分布函数表述马尔可夫过程：

　　设I：随机过程{X(t),t/in T}的状态空间，如果对时间t的任意n个数值:

　　 $P{X(t_n)/le x_n|X(t_1)=x_1,X(t_2)=x_2,/cdots ,X(t_{n-1})=x_{n-1}}$ （注： $X (t n)$ 在条件 $X (t i) = x i$ 下的条件分布函数）

　　 $=P{X(t_n/le x_n|X(t_{n-1})=x_{n-1}},x_n/in R$ (注： $X (t n)$ )在条件 $X (t n - 1) = x n - 1$ 下的条件分布函数）

　　或写成：

　　 $F_{t_n|t_1/cdots t_{n-1}}(x_n,t_n|x_1,x_2,/cdots,x_{n-1};t_1,t_2,/cdots,t_{n-1})$

定义

一个很简单的只有3个状态和2个动作的MDP例子。

一个马尔可夫决策过程是一个4 -
元组
，其中

S是状态的有限集合，

A是动作的有限集合（或者，As是处于状态s下可用的一组动作的有限集合），

表示t时刻的动作
a 将导致马尔可夫过程由状态 s
在t+1
时刻转变到状态s' 的概率。

Ra(s,s')
表示以概率Pa(s,s')从状态 s
转变到状态s'
后收到的即时奖励（或预计即时奖励）。

（马尔可夫决策过程理论实际上并不需要 S
或 A
这两个集合是有限的，但下面的基本算法假定它们是有限的。）

马尔可夫决策过程（MDPs）以安德烈马尔可夫的名字命名，针对一些决策的输出结果部分随机而又部分可控的情况，给决策者提供一个决策制定的数学建模框架。MDPs对通过动态规划和强化学习来求解的广泛的优化问题是非常有用的。MDPs至少早在20世纪50年代就被大家熟知（参见贝尔曼1957年）。大部分MDPs领域的研究产生于罗纳德.A.霍华德1960年出版的《动态规划与马尔可夫过程》。今天，它们被应用在各种领域，包括机器人技术，自动化控制，经济和制造业领域。

更确切地说，一个马尔可夫决策过程是一个离散时间随机控制的过程。在每一个时阶（each time step），此决策过程处于某种状态 s
，决策者可以选择在状态 s
下可用的任何动作 a。该过程在下一个时阶做出反应随机移动到一个新的状态 s'，并给予决策者相应的奖励 Ra(s,s')。

此过程选择 s'作为其新状态的概率又受到所选择动作的影响。具体来说，此概率由状态转变函数 Pa(s,s')来规定。因此，下一个状态
s' 取决于当前状态 s
和决策者的动作 a 。但是考虑到状态 s
和动作 a，不依赖以往所有的状态和动作是有条件的，换句话说，一个的MDP状态转换具有马尔可夫特性。

马尔可夫决策过程是一个马尔可夫链的扩展；区别是动作（允许选择）和奖励（给予激励）的加入。相反，如果忽视奖励，即使每一状态只有一个动作存在，那么马尔可夫决策过程即简化为一个马尔可夫链。

　　 $F_{t_n|t_{n-1}}(x_n,t_n|x_{n-1},t_{n-1})$

　　这时称过程 $X(t),t/in T$ 具马尔可夫性或无后性，并称此过程为马尔可夫过程。

　　3、马尔可夫链的定义

　　时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为 ${X_n=X(n),n=0,1,2,/cdots}$ 。

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马尔可夫过程的概率分布

　　研究时间和状态都是离散的随机序列: ${X_n=X(n),n=0,1,2,/cdots}$ ,状态空间为 $I={a_1,a_2,/cdots},a_i/in R$

　　1、用分布律描述马尔可夫性

　　对任意的正整数n,r和 $0/le t_1<t_2</cdots <t_r<m;t_i,m,n+m/in T_i$ ，有：

　　 $P{X_{m+n}=a_j|X_{t_1}=a_{i_1},X_{t_2}=a_{i_2},/cdots,X_{t_r}=a_{i_r},X_m=a_i}$

　　 $PX m + n = a j | X m = a i$ ，其中 $a_i/in I$ 。

　　2、转移概率

　　称条件概率 $P ij (m, m + n) = PX m + n = a j | X m = a i$ 为马氏链在时刻m处于状态 $a i$ 条件下，在时刻m+n转移到状态 $a j$ 的转移概率。

　　说明：转移概率具胡特点：

　　 $/sum_{j=1}^/infty P_{ij}(m,m+n)=1,i=1,2,/cdots$ 。

　　由转移概率组成的矩阵称为马氏链的转移概率矩阵。它是随机矩阵。

　　3、平稳性

　　当转移概率 $P ij (m, m + n)$ 只与i,j及时间间距n有关时，称转移概率具有平稳性。同时也称些链是齐次的或时齐的。

　　此时，记 $P ij (m, m + n) = P ij (n), P ij (n) = PX m + n = a j | X m = a i$ (注：称为马氏链的n步转移概率)

　　 $P (n) = (P ij (n))$ 为n步转移概率矩阵。

　　特别的, 当 k=1 时,

　　一步转移概率： $P ij = P ij (1) = PX m + 1 = a j | X m = a i$ 。

　　一步转移概率矩阵：P(1)

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马尔可夫过程的应用举例

　　设任意相继的两天中，雨天转晴天的概率为1/3，晴天转雨天的概率为1/2，任一天晴或雨是互为逆事件。以0表示晴天状态，以1表示雨天状态， $X n$ 表示第n天状态（0或1）。试定出马氏链 $X_n,n/ge 1$ 的一步转移概率矩阵。又已知5月1日为晴天，问5月3日为晴天，5月5日为雨天的概率各等于多少？