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数学之美系列二十二:由电视剧《暗算》所想到的 — 谈谈密码学的数学原理

2018年04月15日 ⁄ 综合 ⁄ 共 926字 ⁄ 字号 评论关闭

当然,学过信息论的人都知道,只要多截获一些情报,统计一下字母的频率,就可以解破出这种密码。柯蓝道尔在他的“福尔摩斯探案集”中“跳舞的小人”的故事里已经介绍了这种小技巧。在很长时间里,人们试图找到一些好的编码方法使得解密者无法从密码中统计出明码的统计信息,但是,基本上靠经验。有经验的编码者会把常用的词对应成多个密码,
使得破译者很难统计出任何规律。比如,如果将汉语中的“是”一词对应于唯一一个编码 0543,那么破译者就会发现 0543 出现的特别多。但如果将它对应成十个密码 0543,3737,2947 等等,每次随机的挑一个使用,每个密码出现的次数就不会太多,而且破译者也无从知道这些密码其实对应一个字。这里面虽然包含着朴素的概率论的原理,但是并不科学化。另外,好的密码必须做到不能根据已知的明文和密文的对应推断出新的密文的内容。历史上有很多在这方面设计得不周到的密码的例子。在第二次世界大战中,日本军方的密码设计就很成问题。美军破获了日本很多密码。在中途岛海战前,美军截获的日军密电经常出现
AF 这样一个地名,应该是太平洋的某个岛屿,但是美军无从知道是哪个。于是,美军就逐个发表自己控制的每个岛屿上的假新闻。当美军发出“中途岛供水系统坏了”这条假新闻后,从截获的日军情报中又看到 AF 供水出来问题的电文,美军就断定中途岛就是 AF。事实证明判断正确,美军在那里成功地伏击了日本主力舰队。

事实上,在第二次世界大战中,很多顶尖的科学家包括提出信息论的香农都在为美军情报部门工作,而信息论实际上就是情报学的直接产物。香农提出信息论后,为密码学的发展带来了新气象。根据信息论,密码的最高境界是使得敌人在截获密码后,对我方的所知没有任何增加,用信息论的专业术语讲,就是信息量没有增加。一般来讲,当密码之间分布均匀并且统计独立时,提供的信息最少。均匀分布使得敌人无从统计,而统计独立能保证敌人即使看到一段密码和明码后,不能破译另一段密码。

公开密钥的原理其实很简单,我们以给上面的单词
Caesar 加解密来说明它的原理。我们先把它变成一组数,比如它的 Ascii 代码 X=099097101115097114(每三位代表一个字母)做明码。现在我们来设计一个密码系统,对这个明码加密。



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