莫比乌斯反演
莫比乌斯反演的引入:
莫比乌斯反演是数论中的重要内容，在许多情况下能够简化运算。
我们考虑以下求和函数：F(n)=∑(d|n)f(d).
我们需要找到f(n)与F(n)之间的关系。从和函数定义当中，我们可以知道：
F(1)=f(1)
F(2)=f(1)+f(2)
F(3)=f(1)+ f(3)
F(4)=f(1)+f(2)+f(4)
F(5)=f(1)+f(5)
F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)
F(7)=f(1)+f(7)
F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)
那么：
f(1)=F(1)
f(2)=F(2)-f(1)=F(2)-F(1)
f(3) =F(3)-F(1)
f(4)=F(4) -f(2)- F(1) =F(4)-F(2)
f(5) =F(5)-F(1)
f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)
f(7)=F(7)-F(1)
f(8)=F(8)-F(4)
从中，可以看出，若n=p^2(p为质数)那么，F(p)=f(1)+f(p)，F(n)=f(1)+f(p)+f(p^2)，所以
，f(n)=F(p^2)-F(p).
如果我们要让函数满足：
那么通过以上推导，我们可以知道μ(p^2)=0.所以我们作出以下猜测：
莫比乌斯反演μ(d)定义
若d=1 那么μ(d)=1
若d=p1p2…pr （r个不同质数，且次数都唯一）μ(d)=(-1)^r
其余 μ(d)=0
莫比乌斯反演的性质
性质一：
（莫比乌斯反演公式）
性质三：设f是算术函数，它的和函数F(n)=∑(d|n)f(d)是积性函数，那么f也是积性函数。
下面写一下我的看法：
关于定义，为什么只有当d=1或d=p1p2..(.质数.)时才可能出现？d=1时就不用说了。d是自然数（除1,0外）都可以由若干质数的乘积表示；
之所以考虑（-1）^r，是因为考虑到重复减去的部分，如：d=2,d=3，都有F[6]的部分，所以d=6时要补回来。
性质一的推导，其实综合上述，已经把他们分成部分解决了，可以好好思考一下。