有些东西,还是说清楚的好,比如超平面(hyperplane)这个东西。
- 直线、平面
在说超平面之前,先说说
空间中的直线和平面。给定
空间中的一点
和一非负向量
的点
的集合称为
空间中的一条直线。上式中
是一个标量,向量
决定了该直线的方向。如图1所示:
相对的,给定
空间中的一点
的点
的集合称为
空间中的一个平面。上式中
均是标量。如图2所示:
更一般的,给定
空间中的一点
的点
的集合称为
空间的一个k维仿射子空间(k-dimensional affine subspace)。因此,一条直线就是一个1维仿射子空间,一个平面就是一个2维仿射子空间。
- 直线的另一种表示
假设
空间中的点集
满足等式
其中
均为标量,并且
至少有一个不为0。假设
不为0,则
设
这其实是一条经过点
方向为
的直线L。
进一步地,我们设
设取
为L上一点,代入上式可以得到
可以看出,
实际是直线L的法向量,并且点集
是那些与
的差向量与
正交的点。
- 超平面
说了这么多,现在来给出超平面的定义:给定
空间中的一点
和一个非零向量
的点集
称为经过点
的超平面。向量
为该超平面的法向量。按照这个定义,一条直线是
空间的超平面,一个平面是
空间的超平面,
空间的超平面是
空间 的一个n-1维仿射子空间。设
其中,
很重要的一点是,利用一个超平面,我们可以将空间的点分为两部分(式(4)的值大于等于0或者小于0)。同时,利用式(4)我们可以方面的计算空间内一点到超平面的距离:设空间中一点
到超平面的距离即是
在向量
上的投影,如图(3)所示。根据
我们即可以求得
到超平面的距离。