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算法入门系列二–DP入门之DAG上的DP

2018年07月16日 ⁄ 综合 ⁄ 共 3691字 ⁄ 字号 小 中 大 ⁄ 评论关闭

DAG：有向无环图。

DAG是学习动态规划的基础，很多问题都可以直接转化为DAG上的最长路、最短路或路径计数问题。

两个经典的DAG模型，嵌套矩形和硬币问题，今天先写第一个嵌套矩形问题。

一、嵌套矩形

第一个DAG模型：矩形嵌套问题
描述
有n个矩形，每个矩形可以用a,b来描述，表示长和宽。
矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d（相当于旋转X90度）。
例如（1,5）可以嵌套在（6,2）内，但不能嵌套在（3,4）中。
你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行，使得除最后一个外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。

【分析】
矩形间的“可嵌套”关系是一个典型的二元关系，二元关系可以用图来建模。如果矩形X可以嵌套在Y中，则就从X到Y连一条有向边。这个图是无环的，因为一个矩形无法直接或或间接的嵌套在自己的内部。也即是说这是以一个DAG。
因此，我们就是在求DAG上的最长路径。

【问题】
这个是一个没有确定的路径起点和终点（可以把任意的矩形放在任何位置）的DAG问题。
如何求解，仿照上次的数字三角形（数塔）问题的求解，可以设d（i）表示从节点i出发的最长路的长度，如何写出状态转移方程呢？第一步只能走到他的相邻的节点，因此：
d（i）= max { d（j）+1 | i, j ∈E }
其中，E为边集。最终答案是所有的d（i）中的最大值。因此可以用递推或者记忆化搜索计算。

二、解决步骤

第一步，建图。
假如用邻接矩阵将矩形间的关系保存在矩阵G中。

第二步，编写记忆化搜索程序（调用前先初始化数组为0）。

第三步，按字典序输出最佳的方案


三、实例实践

假如有这样的五个矩形：
输入的边长分别是：
矩形宽 矩形长
3 5
4 6
2 3
7 4
6 6

其DAG表示如下：

由图可知，最长路有3--1--2 和 3--1--4

按字典序之后只有 3--1--2
具体的代码如下：（c语言实现DAG矩形嵌套问题）

附录：代码

[cpp] view
plaincopyprint?

  1. /***** DP初步之DAG ********/  
  2.   
  3. /******** written by C_Shit_Hu ************/  
  4.   
  5. ////////////////动态规划入门///////////////  
  6.   
  7. /****************************************************************************/  
  8. /*  
  9. 第一个DAG模型：矩形嵌套问题 
  10. 描述 
  11. 有n个矩形，每个矩形可以用a,b来描述，表示长和宽。 
  12. 矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d（相当于旋转X90度）。 
  13. 例如（1,5）可以嵌套在（6,2）内，但不能嵌套在（3,4）中。 
  14. 你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行，使得除最后一个外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。 
  15.  
  16. 输入 
  17. 测试数据的第一行是一个正正数n，表示该组测试数据中含有矩形的个数(n<=1000) 
  18. 随后的n行，每行有两个数a,b(0<a,b<100)，表示矩形的长和宽 
  19.  
  20. 输出 
  21. 每组测试数据都输出一个数，表示最多符合条件的矩形数目，每组输出占一行 
  22. */  
  23. /****************************************************************************/  
  24.   
  25.   
  26. // 思路：先对长和宽来此排序，再按照要求构图，  
  27. // 完成之后，直接记忆化搜索，值得注意的地方是你不能只从第一个点搜索，而是要从每个点搜索  
  28.   
  29. #include<stdio.h>  
  30. #include<string.h>  
  31.   
  32. #define MAXN 101  
  33. int n, G[MAXN][MAXN];     // 图的存储  
  34. int x[MAXN], y[MAXN], d[MAXN];  // 节点  
  35.   
  36. //记忆化搜索来完成的动态转移  
  37. int dp(int i)   
  38. {         
  39.     int j;  
  40.     if(d[i] > 0)   
  41.         return d[i];  // 如果已经计算过，直接返回其值  
  42.   
  43.     d[i] = 1;         // 否则，置一，递推计算  
  44.     for(j = 1; j <= n; j++)  
  45.         if(G[i][j])   // 如果图存在，即是满足可嵌套  
  46.             if(d[i] <=dp(j)+1)     // 如果存在可嵌套的节点d(j)加一后其值大于d(i)  
  47.                 d[i]=dp(j)+1;      // 则使d[i]更新  
  48.   
  49.             return d[i];       // 返回d[i]  
  50. }  
  51.   
  52. //按字典序只输出排序最小的序列  
  53. /* 
  54. 此部分的原理：字典序只是消除并列名次的方法，我们最根本的任务还是求出最长路 
  55. 在把所有的d值计算出来后，选择最大的d[i]所对应的i。而如果有多个i，则选择最小的i，这样保证字典序最小。 
  56. 接下来选择d(i) = d(j) +1 且i, j ∈E 的任何一个j，但是为满足字典序最小，需选择最小的j 
  57. */  
  58. void print_ans(int i)   
  59. {     
  60.     int j;  
  61.     printf("%d ", i);    // 第一次i代表最长路的起点节点，以后均代表从该节点开始的路径  
  62.     for(j = 1; j <= n; j++)   
  63.         if(G[i][j] && d[i] == d[j]+1)  // 如果该图满足可嵌套，且d[i] = d[j] +1  
  64.         {  
  65.             print_ans(j);           // 立即输出从节点j开始的路径  
  66.             break;  
  67.         }  
  68. }  
  69.   
  70. int main()   
  71. {  
  72.     int i, j, t, ans, best;  
  73.     scanf("%d", &n);            // n表示矩形的数目  
  74.     // 初始化矩形长宽参数，并初次调整长宽顺序  
  75.     for(i = 1; i <= n; i++)   
  76.     {  
  77.         scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);     // 依次输入矩形的边长信息  
  78.         if(x[i] > y[i])   
  79.         {  
  80.             t = x[i]; x[i] = y[i]; y[i] = t;   // 保证X[]存的是长，Y[]存的是宽  
  81.         }  
  82.     }  
  83.     memset(G, 0, sizeof(G));  // 数组清零  
  84.     for(i = 1; i <= n; i++)           // 建图  
  85.         for(j = 1; j <= n; j++)  
  86.             if(x[i] < x[j] && y[i] < y[j]) G[i][j] = 1;  // 如果第i个矩形的长宽均小于第j个，使图相应的值为1  
  87.               
  88.             ans = 0;  
  89.             for(i = 1; i <= n; i++)      // 依次递推所有的的节点  
  90.                 if(dp(i) > ans)   
  91.                 {  
  92.                     best = i;       // best 是最小字典序  
  93.                     ans = dp(i);  
  94.                 }  
  95.                 printf("ans=%d\n", ans);   // 表示最长路长度  
  96.                 print_ans(best);  
  97.                 printf("\n");  
  98.                 while(1);  
  99.             return 0 ;  
  100. }  
  101.   
  102. /******************************************************/  
  103. /********************  心得体会  **********************/  
  104. /* 
  105. 好好学习DP！！！ 
  106. */  
  107. /******************************************************/  

运行结果如下：

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