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用最大似然估计求逻辑回归参数

2018年10月27日 编程语言 ⁄ 共 1536字 ⁄ 字号 评论关闭

一.最大似然估计

    选择一个(一组)参数使得实验结果具有最大概率。

A. 如果分布是离散型的,其分布律,是待估计的参数,这里我们假设为已知量,则:设X1,
X2, ... , Xn 是来自于X的样本,X1,X2,...Xn的联合分布律为:

           (1)

     设x1,x2,...xn是X1,X2,..Xn的一个样本值,则可知X1,..Xn取x1,..,x2的概率,即事件{X1 = x1,...,Xn=xn}发生的概率为:

            (2)

     这里,因为样本值是已知的,所以(2)是的函数,称为样本的似然函数。

     最大似然估计:已知样本值x1,...xn,选取一组参数,使概率达到最大值,此时的为最大估计值。即取使得:

         

     与x1,...,xn有关,记为并称其为参数的极大似然估计值。

B.如果分布X是连续型,其概率密度的形式已知,为待估计参数,则事件X1,...Xn的联合密度为:

          (3)

     设x1,..xn为相应X1,...Xn的一个样本值,则随机点(X1,...,Xn)落在(x1,..xn)的领域内的概率近似为:

            (4)

       最大似然估计即为求值,使得(4)的概率最大。由于

               不随而变,故似然函数为:

                (5)

C. 求最大似然估计参数的步骤:

      (1) 写出似然函数:

                (6)

               这里,n为样本数量,似然函数表示n个样本(事件)同时发生的概率。

         (2) 对似然函数取对数:

                

          (3) 将对数似然函数对各参数求偏导数并令其为0,得到对数似然方程组。

          (4) 从方程组中解出各个参数。

D. 举例:

        设;为未知参数,x1,...xn为来自X的一个样本值。求的极大似然估计值。

       解:X的概率密度为:

             

           似然函数为:

            

            

            令  即:

             解得:   带入解得

二.逻辑回归

     逻辑回归不是回归,而是分类。是从线性回归中衍生出来的分类策略。当y值为只有两个值时(比如0,1),线性回归不能很好的拟合时,用逻辑回归来对其进行二值分类。

     这里逻辑函数(S型函数)为:

       (7)

     于是,可得估计函数:

         (8)

      这里,我们的目的是求出一组值,使得这组可以很好的模拟出训练样本的类值。

      由于二值分类很像二项分布,我们把单一样本的类值假设为发生概率,则:

            (9)

       可以写成概率一般式:

              (10)

       由最大似然估计原理,我们可以通过m个训练样本值,来估计出值,使得似然函数值最大:

          (11)

        这里,为m个训练样本同时发生的概率。对求log,得:

            

           (12)

         我们用随机梯度上升法,求使最大化时的值,迭代函数为:

              (13)

         这里对每个分量进行求导,得:

           (14)

         于是,随机梯度上升法迭代算法为:

         repeat until convergence{

               for i = 1 to m{

                              (15)

               }

         }

思考:

      我们求最大似然函数参数的立足点是步骤C,即求出每个参数方向上的偏导数,并让偏导数为0,最后求解此方程组。由于中参数数量的不确定,考虑到可能参数数量很大,此时直接求解方程组的解变的很困难。于是,我们用随机梯度上升法,求解方程组的值。

备注:

        (a) 公式(14)的化简基于g(z)导函数,如下:

                 (16)

       (b) 下图为逻辑函数g(z)的分布图:

           

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