小明系列问题——小明序列
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提起小明序列,他给出的定义是这样的:
①首先定义S为一个有序序列,S={ A1 , A2 , A3 , ... , An },n为元素个数 ;
②然后定义Sub为S中取出的一个子序列,Sub={ Ai1 , Ai2 , Ai3 , ... , Aim },m为元素个数 ;
③其中Sub满足 Ai1 < Ai2 < Ai3 < ... < Aij-1 < Aij < Aij+1 < ... < Aim ;
④同时Sub满足对于任意相连的两个Aij-1与Aij都有 ij - ij-1 > d (1 < j <= m, d为给定的整数);
⑤显然满足这样的Sub子序列会有许许多多,而在取出的这些子序列Sub中,元素个数最多的称为“小明序列”(即m最大的一个Sub子序列)。
例如:序列S={2,1,3,4} ,其中d=1;
可得“小明序列”的m=2。即Sub={2,3}或者{2,4}或者{1,4}都是“小明序列”。
当小明发明了“小明序列”那一刻,情绪非常激动,以至于头脑凌乱,于是他想请你来帮他算算在给定的S序列以及整数d的情况下,“小明序列”中的元素需要多少个呢?
输入的第一行为两个正整数 n 和 d;(1<=n<=10^5 , 0<=d<=10^5)
输入的第二行为n个整数A1 , A2 , A3 , ... , An,表示S序列的n个元素。(0<=Ai<=10^5)
2 0 1 2 5 1 3 4 5 1 2 5 2 3 4 5 1 2
2 2 1
#include <iostream> #include<stdio.h> #include<string.h> using namespace std; const int maxn=100010; int maxv[maxn<<2],dp[maxn],val[maxn],pre[maxn]; void update(int L,int R,int p,int d,int k) { int ls,rs,mid; if(L==R) { maxv[k]=max(maxv[k],d); return ; } ls=k<<1; rs=ls|1; mid=(L+R)>>1; if(p<=mid) update(L,mid,p,d,ls); else update(mid+1,R,p,d,rs); maxv[k]=max(maxv[ls],maxv[rs]); } int qu(int L,int R,int l,int r,int k)//区间最值 { int ls,rs,mid; if(l==L&&r==R) return maxv[k]; ls=k<<1; rs=ls|1; mid=(L+R)>>1; if(l>mid) return qu(mid+1,R,l,r,rs); else if(r<=mid) return qu(L,mid,l,r,ls); else return max(qu(L,mid,l,mid,ls),qu(mid+1,R,mid+1,r,rs)); } int main() { int n,d,i,lim,ans; while(~scanf("%d%d",&n,&d)) { memset(maxv,0,sizeof maxv); memset(dp,0,sizeof dp); lim=0,ans=1; for(i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&val[i]); val[i]+=2; lim=max(lim,val[i]); } for(i=1;i<=d;i++) dp[val[i]]=1,pre[i]=1;//pre起到队列的作用。先把要跟新的值存起来。等距离大于d的时候再更新 for(i=d+1;i<=n;i++) { if(i==1)//d=0单独处理下 { dp[val[i]]=1; pre[i-d]=1; update(1,lim,val[i-d],pre[i-d],1); continue; } dp[val[i]]=max(qu(1,lim,1,val[i]-1,1)+1,dp[val[i]]); pre[i]=dp[val[i]]; update(1,lim,val[i-d],pre[i-d],1); ans=max(ans,dp[val[i]]); } printf("%d\n",ans); } return 0; }
解法二:用经典的LIS扩展。dp[i]表示长度为i的序列结尾最小为dp[i]。经典的LIS是每处理完一个单位就要更新dp即d=0的情况。但是现在得到的新值先保存在pre[i]中。因为它只会影响到i+d以后的dp值。所以到那时才能更新。
#include<algorithm> #include<iostream> #include<string.h> #include<sstream> #include<stdio.h> #include<math.h> #include<vector> #include<string> #include<queue> #include<set> #include<map> //#pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000") using namespace std; const int INF=0x3f3f3f3f; const double eps=1e-8; const double PI=acos(-1.0); const int maxn=100010; //typedef __int64 ll; int dp[maxn],arr[maxn],pre[maxn],lim; int bin(int x) { int low,hi,mid,ans=-1; low=0,hi=lim; while(low<=hi) { mid=(low+hi)>>1; if(dp[mid]<x) ans=mid,low=mid+1; else hi=mid-1; } return ans; } int main() { int n,d,i,ans; while(~scanf("%d%d",&n,&d)) { for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&arr[i]); dp[0]=-INF,lim=0,ans=1; for(i=1;i<=d;i++) pre[i]=1; for(i=d+1;i<=n;i++) { pre[i]=bin(arr[i])+1;//先把值保存起来。等距离超过d再更新 ans=max(ans,pre[i]);//注意随时更新答案。 if(pre[i-d]>lim) lim=pre[i-d],dp[lim]=arr[i-d]; else dp[pre[i-d]]=min(dp[pre[i-d]],arr[i-d]); } printf("%d\n",ans); } return 0; }