这个学期在做算法设计课的助教，很多题以前做过就忘记了，重做特地记录下。
《算法导论》chapter7 problem7-6对区间的模糊排序
考虑这样一种排序问题,即无法准确的知道等排序的各个数字到底是多大.对于其中的每个数字,我们只知道它落在实轴上的某个区间内.亦即,给定的 n 个形如[ai, bi ]的闭区间,其中ai,≤bi .算法的目标是对这些区间进行模糊排序(fuzzy-sort),亦即,产生各区间的一个排序<i1, i2, i3, i4,…in >,使得存在一个 cj ∈[ai, bi ],满足c1≤c2≤…≤cn .
a)为n个区间的模糊排序设计一个算法,你的算法应该具有算法的一般结构,它可以快速排序左部端点(即各ai ),也要能充分利用重叠区间来改善运行时间.(随着各区间重叠得越来越多,对各区间的排序的问题会变得越来越容易,你的算法应该能充分利用这种重叠.)
b)证明: 在一般情况下,你的算法的区望运行时间为 O(n*lgn),但当所有的区间都重叠时,期望的运行时间为O(n) (亦即,当存在一个值 x, 使得对所有的 i, 都有x∈[ai, bi ] ).你的算法不应显式的检查这种情况,而是应当随着重叠量的增加,性能自然地有所改善.
解答
a. 算法思想基本是仿快速排序对区间进行排序。难点在于如何充分利用重叠区间来改善运行时间？其关键在于Partion()的设计。
对于如何充分利用重叠区间，解决思路是在调用Partion()划分时，区间如果重叠的部分，就把它们看做是相等的，并提取公共部分继续划分。即对于区间[ai,bi]，[aj,bj],它们大小分为三种情况。
if(bi<aj)那么[ai,bi]<[aj,bj]
else if(bj<ai)那么[aj,bj]<[ai,bi]
else [ai,bi]=[aj,bj]。
网上其它人的解答，思路都是类似的，不过看了几个版本，不少人在代码实现上多少有点bug。一个易错的地方是在判定两个区间相等的情况后，要提取它们公共区域继续划分。另一个错误有点难描述，以下面的代码为例，在else if(interArr[k].a>midInterval.b){}里面，没有加上“k--”这一行代码。至于什么要加一行代码，因为在interArr[k]比基准midInterval大而需要Exchange时，和interArr[j]交换时，interArr[j]也可能比基准midInter大的。我们如果不k--,那么就会直接跳过去了。这样说如果有点模糊的话，可以拿下面数据模拟一次就明白了。
28508 31359
4712 30466
23267 30245
7134 8098
25400 26351
8079 29052
31163 31738
6346 24352
具体代码如下：
#include <iostream>
#include <ctime>
using namespace std;
struct IntervalType
{
int a;
int b;
};
void Exchange(IntervalType interArry[],int i,int j)
{
IntervalType tmpInterval=interArry[i];
interArry[i]=interArry[j];
interArry[j]=tmpInterval;
return ;
}
//将区间[oBeg,oEnd]以某区间为基准，分成[oBeg,preEnd]<[preEnd+1,postBeg-1]<[postBeg,oEnd]三个区间
void Partition(IntervalType interArr[],int oBeg,int oEnd,int &preEnd,int &postBeg)
{
IntervalType midInterval=interArr[oEnd];
int i=oBeg-1;
int j=oEnd+1;
for(int k=oBeg;k<j&&k<oEnd;k++)
{
if(interArr[k].b<midInterval.a)//区间k比基准区间小
{
i++;
Exchange(interArr,k,i);
}
else if(interArr[k].a>midInterval.b)//区间k比基准区间大
{
j--;
Exchange(interArr,k,j);
k--;
}
else//两个区间有重叠，视作相等，取它们重叠的部分作为基准区间继续划分
{
midInterval.a=max(midInterval.a,interArr[k].a);
midInterval.b=min(midInterval.b,interArr[k].b);
}
}
preEnd=i;
postBeg=j;
return;
}
void IntervalQuickSort(IntervalType interArr[],int iBeg,int iEnd)
{
if(iBeg>=iEnd)return;
int preEnd,postBeg;
Partition(interArr,iBeg,iEnd,preEnd,postBeg);//将区间[iBeg,iEnd]以某区间为基准，分成[iBeg,preEnd]<[preEnd+1,postBeg-1]<[postBeg,iEnd]三个区间
IntervalQuickSort(interArr,iBeg,preEnd);
IntervalQuickSort(interArr,postBeg,iEnd);
return ;
}
//输出存在的符合题意的排列，同时判断我们对区间的排序结果是否正确，即是否能找到这样一个满足条件的排列。
bool PrintExitCArray(IntervalType interArray[],int n)
{
int* c=new int[n];
cout<<interArray[0].a<<" ";
c[0]=interArray[0].a;
for(int i=1;i<n;i++)
{
c[i]=max(c[i-1],interArray[i].a);
if(c[i]>interArray[i].b)
{
cout<<"error!/n";
return false;
}
cout<<c[i]<<" ";
}
return true;
}
int main()
{
srand((unsigned)time(0));
IntervalType interArray[10000];
int n=0;
cout<<"输入区间个数n:";
cin>>n;
cout<<"下面随机输入"<<n<<"个区间的起点终点a,b:"<<endl;
for(int i=0;i<n;i++)
{
interArray[i].a=rand()%1000;
interArray[i].b=rand()%1000;
while(interArray[i].a>interArray[i].b)
{
interArray[i].b=rand()%1000;
}
cout<<interArray[i].a<<" "<<interArray[i].b<<endl;
}
IntervalQuickSort(interArray,0,n-1);
cout<<"模糊排序的结果如下："<<endl;
for(int i=0;i<n;i++)
cout<<interArray[i].a<<" "<<interArray[i].b<<endl;
cout<<"可能存在的排列如下："<<endl;
if(PrintExitCArray(interArray,n))
{
cout<<endl<<"成功找到一个满足条件的排列。"<<endl;
}
else
{
cout<<"算法失败，存在bug。"<<endl;
}
return 0;
}
大家如果有自己的实现版本，可以参考上面随机生成几百个数据，用函数bool PrintExitCArray(IntervalType interArray[],int n)来测试下自己写的代码是否正确。