一，问题描述
设L=<a1,a2,…,an>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<aK1,ak2,…,akm>，其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。求最大的m值。
二，问题求解
方法一：转化为LCS
根据求LCS方法，将序列L按递增顺序排列，然后存放在数组M中，于是求序列L的最长递增子序列就转化成求序列L和M的LCS。
方法二：动态规划直接求解（一）
以坐标i结尾的序列的最长递增子序列和其[0,i-1]“前缀”的最长递增子序列有关，设C[i]保存“以i结尾的最长递增子序列”的长度，若i=0,则 C[i]=1。否则C[i]的值和其[0,i-1]前缀的最长递增子序列长度有关，用j遍历[0,i-1]得到其最长递增子序列为C[j],对每一个C[j],如果L[j]<L[i]并且C[j]+1>C[i](初始化为0)，则C[i]的值变为C[j]+1。即：
LIS[i]=max{1,LIS[j]+1},
其中array[i]>array[j],且j=[0,i-1]。
实现如下：
public void lis(float[] L)
{
int n = L.length;
int[] f = new int[n];//用于存放f(i)值；
f[0]=1;//以第a1为末元素的最长递增子序列长度为1；
for(int i = 1;i<n;i++)//循环n-1次
{
f[i]=1;//f[i]的最小值为1；
for(int j=0;j<i;j++)//循环i 次
{
if(L[j]<L[i]&&f[j]>f[i]-1)
f[i]=f[j]+1;//更新f[i]的值。
}
}
System.out.println(f[n-1]);
}
其中最长递增子序列的值为max(f[n-1])。
方法三：动态规划（二）
在前面的分析中，当考察第i+1个元素的时候，我们是不考虑前面i个元素的分布情况的。现在我们从另一个角度分析，即当考察第i+1个元素的时候考虑前面i个元素的情况。
对于前面i个元素的任何一个递增子序列，如果这个子序列的最大的元素比array[i+1]小，那么就可以将array[i+1]加在这个子序列后面，构成一个新的递增子序列。
比如当i=4的时候，目标序列为1，-1，2，-3，4，-5，6，-7最长递增序列为(1,2),(-1,2)。
那么，只要4>2,就可以把4直接增加到前面的子序列中形成一个新的递增子序列。
因此，我们希望找到前i个元素中的一个递增子序列，使得这个递增子序列的最大的元素比array[i+1]小，且长度尽量地长。这样将array[i+1]加在该递增子序列后，便可以找到以array[i+1]为最大元素的最长递增子序列。
仍然假设在数组的前i个元素中，以array[i]为最大元素的最长递增子序列的长度为LIS[i]。
同时，假设：
长度为1的递增子序列最大元素的最小值为MaxV[1];
长度为2的递增子序列最大元素的最小值为MaxV[2];
……
长度为LIS[i]的递增子序列最大元素的最小值为MaxV[LIS[i]];
本循环不变式P是：
P：k是序列a[0:i]的最长递增子序列的长度，0≤i＜n。
容易看出，在由i-1到i的循环中，a[i]的值起关键作用。如果a[i]能扩展序列a[0;i-1]的最长递增子序列的长度，则k=k+1，否则k不变。设a[0;i-1]中长度为k的最长递增子序列的结尾元素是a[j](0≤j≤i-1)，则当a[i]≥a[j]时可以扩展，否则不能扩展。如果序列a[0;i-1]中有多个长度为k的最长递增子序列，那么需要存储哪些信息？容易看出，只要存储序列a[0;i-1]中所有长度为k的递增子序列中结尾元素的最小值b[k]。因此，需要将循环不变式P增强为：
P：0≤i＜n;k是序列a[0;i]的最长递增子序列的长度；
b[k]是序列a[0;i]中所有长度为k的递增子序列中最小结尾元素值。
相应地，归纳假设也增强为：已知计算序列a[0;i-1](i＜n)的最长递增子序列的长度k以及序列a[0;i]中所有长度为k的递增子序列中的最小结尾元素值b[k]的正确算法。
增强归纳假设后，在由i-1到i的循环中，当a[i]≥b[k]时，k=k+1，b[k]=a[i],否则k值不变。注意到当a[i]≥b[k]时，k值增加，b[k]的值为a[i]。那么，当a[i]＜b[k]时，b[l;k]的值应该如何改变？如果a[i]<b[l],则显然应该将b[l]的只改变为a[i],当b[l]≤a[i]≤b[k]时，注意到数组b是有序的，可以用二分搜索算法找到下标j，使得b[j-1]≤a[i]≤b[j]。此时，b[1;j-1]和b[j+1;k]的值不变，b[j]的值改变为a[i]。
/* Finds longest strictly increasing subsequence. O(n log k) algorithm. */
template<typename T> vector<int> find_lis(vector<T> &a)
{
vector<int> b, p(a.size());//b是存储递增序列长度为k的最后元素下标
//比如b[1]是存储递增子序列最大元素的最小值的下标
//b是存储最长子序列的下标
int u, v;
if (a.size() < 1)
return b;
b.push_back(0);
for (int i = 1; i < (int)a.size(); i++)
{
if (a[b.back()] < a[i])
{
p[i] = b.back();
b.push_back(i);
continue;
}
for (u = 0, v = b.size()-1; u < v;) //二分搜索
{
int c = (u + v) / 2;
if (a[b[c]] < a[i])
u=c+1;
else
v=c;
}
if (a[i] < a[b[u]]) {
if (u > 0)
p[i] = b[u-1];
b[u] = i;
}
}
for (u = b.size(), v = b.back(); u--; v = p[v])
b[u] = v;
return b;
}
http://blog.programfan.com/article.asp?id=13086 http://blog.csdn.net/ztj111/archive/2008/07/31/2748152.aspx