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背景：

要在python中处理7000*7000的稀疏矩阵，计算前k小的特征值和相应的特征向量。不想在matlab中做这件事了，所有的数据预处理和展现工作都想在python中完成。然而一般的linalg提供的eig开销太大，要计算所有的特征值和特征向量，这个开销要达到 O(N^3)，对于谱聚类来说，这个开销是不能忍受的。

所以要借助稀疏矩阵计算的工具包。

探索过程：

使用scipy.sparse

对于10*10大小的矩阵都没有问题：

import scipy as sp  
import scipy.sparse.linalg  
import bumpy as np  
vals, vecs = sp.sparse.linalg.eigs(np.identity(10), k=6)

但是对于100*100的矩阵就出错了：

vals, vecs = sp.sparse.linalg.eigs(np.identity(100), k=6)

过程当中总是出现错误：

ArpackError: ARPACK error 3: No shifts could be applied during a cycle of the Implicitly restarted Arnoldi iteration. One possibility is to increase the size of NCV relative to NEV

查看了一下源代码，发现求特征值的方法引用了：

ARPACK USERS GUIDE: Solution of Large Scale Eigenvalue Problems by Implicitly Restarted  Arnoldi Methods

文章在这里 http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/pdf/arpack.pdf  scipy.sparse.linalg引用它大意是说使用了Arnoldi方法求大规模矩阵的特征值问题。

查阅了一下手册，那个ArpackError错误的意思是要修改参数。

既然是这样，就查看一下scipy.sparse的手册吧 http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/sparse.html

里面介绍了几种类型的稀疏矩阵，sp.sparse.linalg.eigs的参数也应该是稀疏矩阵，于是修改了代码：

import scipy as sp
import scipy.sparse.linalg
import numpy as np
import time
A = sp.sparse.lil_matrix((10000, 10000))
A[0,:1000]=np.random.rand(1000)
A.setdiag(np.random.rand(10000))                                                                                                                             
timeCheckin=time.clock()
vals, vecs = sp.sparse.linalg.eigs(A, k=3)
print("first 6 eigenvaluse cost %s" % (time.clock()-timeCheckin))
print vals

构造了一个10000*10000的矩阵，第一行，第二行，第四行有 [0,1]上均匀分布的随机数。计算前3个特征值，耗时52.091 s. 又做了一次实验，因随机性，这次耗时314.156s，初步判断是和算法的收敛状况有关。

另外使用MATLAB做对比，matlab代码是

d=rand(10000,1)
A=diag(d)
A[1,1:1000]=rand(1,1000)
eigs(A,3)

查手册，是用Ritz方法，迭代了965次收敛，耗时30min。

但如果也让MATLAB对稀疏矩阵做操作，那么它也调用ARPACK工具包，也就是说和scipy.sparse是一样的，精度上没有区别，计算速度也和python的相当。

另外可以考虑pysparse：

这里是PySparse的官方网站

http://pysparse.sourceforge.net/spmatrix.html#vectorization

最终解决方案：

#coding=utf8
import scipy as sp
import scipy.sparse.linalg
import scipy.io as sio 
import numpy as np
import time
import os
def generateTestMat(size):
        '''generate a test matrix for k-eigenvalues problem
        '  matlab and scipy.sparse.linalg.eigs seem use the same package ARPACK
        '  this matrix has two diagnol lines, one is on the diagnol and the other is off 1
        '''
        A = sp.sparse.lil_matrix((size, size))
        A[0,:size]=np.random.rand(size)
        A.setdiag(np.random.rand(size))
        A.setdiag(np.random.rand(size-1),1)
        #保存成matlab可以读取的格式，{"A":A}前面的A表示在matlab中的名字，后面的A表示在python中名字
        sio.savemat("A.mat",{"A":A},oned_as='row')
        print("generate a test matrix,with size %s by %s" %(size,size))

def calculateKEigs(tolerance=0):
        if(os.path.exists(os.getcwd()+"/"+"A.mat")==False):
                generateTestMat()
        A=sio.loadmat("A.mat")["A"]#后面的A表示在matlab中名字
        timeCheckin=time.clock()
        #tol=0表示使用原先的计算精度
        vals, vecs = sp.sparse.linalg.eigs(A, k=3,tol=tolerance,which="SM")
        print("first 3 eigenvalues cost %s seconds" % (time.clock()-timeCheckin))
        print("first 3 eigenvalues are %s" % vals)
        k=len(vals)
        nRow,nCol=A.get_shape()
        for i in range(0,k):
                print("error of lamda is %s " % (np.linalg.norm(A.dot(vecs[:,i])-vals[i]*vecs[:,i])))
        for i in range(0,k):
                v=np.random.rand(nCol)
                #v must be normalization
                v=v/np.linalg.norm(v)
                print("random error is %s " % (np.linalg.norm(A.dot(v)-vals[i]*v)))

generateTestMat(10000)
calculateKEigs(tolerance=0.001)

结果如下，还是相当好的——10000*10000的矩阵耗时32.58秒，求出前3小的特征值，计算精度为0.001：

generate a test matrix,with size 10000 by 10000
first 3 eigenvalues cost 32.576715 seconds
first 3 eigenvalues are [-0.00547908+0.00513399j -0.00547908-0.00513399j -0.00547640+0.00724066j]
error of lamda is 3.44171050491e-06 
error of lamda is 3.44171050491e-06 
error of lamda is 7.36171280591e-06 
random error is 43.5130937694 
random error is 43.3207057797 

random error is 43.3430705168