一、题目
假定元素的值不同，说明如何才能使快速排序在最坏情况下以O(nlgn)时间运行
二、思考
要改善最坏情况的下运行时间，就要从划分入手，保证即使是最坏情况，也要尽量均衡地划分。
因此，使用SELECT找到中值，再以这个中值为主元进行划分
三、代码
1.以RANDOMIZED-SELECT作为选择中值的算法
//9.3-3
#include <iostream>
using namespace std;
//已经出现很多次了，不解释
int Partition(int *A, int p, int r)
{
int x = A[r], i = p-1, j;
for(j = p; j < r; j++)
{
if(A[j] <= x)
{
i++;
swap(A[i], A[j]);
}
}
swap(A[i+1], A[r]);
return i+1;
}
//以f为主元的划分
int Partition2(int *A, int p, int r, int f)
{
int i;
//找到f的位置并让它与A[r]交换
for(i = p; i < r; i++)
{
if(A[i] == f)
{
swap(A[i], A[r]);
break;
}
}
return Partition(A, p, r);
}
int Randomized_Partition(int *A, int p, int r)
{
//随机选择数组中一个数作为主元
int i = rand() % (r-p+1) + p;
swap(A[r], A[i]);
//划分
return Partition(A, p, r);
}
//i是从1开会计数的，不是从p开始
int Randomized_Select(int *A, int p, int r, int i)
{
if(p == r)
return A[p];
//以某个元素为主元，把数组分为两组，A[p..q] <= 主元 < A[q+1..r]，返回主元在整个数组中的位置
int q = Randomized_Partition(A, p, r);
//主元是整个数组中的第q个元素，是A[p..r]数组中的第k个元素
int k = q - p + 1;
if(i == k)
return A[q];
else if(i < k)//所求元素<=主元，则在A[p..q-1]中继续寻找
return Randomized_Select(A, p, q-1, i);
else//所求元素>主元，则在A[q+1..r]中继续寻找
return Randomized_Select(A, q+1, r, i-k);
}
void QuickSort(int *A, int p, int r)
{
if(p >= r)
return ;
//用RANDOMIZED-SELECT作为选择中值的算法选择中值
int i = (r - p + 1) / 2;
int x = Randomized_Select(A, p, r, i);
//以这个中值为主元进行划分
// int q = Partition2(A, p, r, x);
//分别对划分后的前后两个部分进行排序
QuickSort(A, p, p+i-2);
QuickSort(A, p+i, r);
}
int main()
{
int length_A, i;
cin>>length_A;
//生成随机数据
int *A = new int[length_A+1];
for(i = 1; i <= length_A; i++)
A[i] = rand() % 100;
for(i = 1; i <= length_A; i++)
cout<<A[i]<<' ';
cout<<endl;
//排序
QuickSort(A, 1, length_A);
//输出结果
for(i = 1; i <= length_A; i++)
cout<<A[i]<<' ';
cout<<endl;
delete []A;
return 0;
}
运行结果：
2.以最坏情况下线性时间作为选择中值的算法
//9.3-3使用最坏情况线性时间算法作为选择中值算法
#include <iostream>
using namespace std;
//已经出现很多次了，不解释
int Partition(int *A, int p, int r)
{
int x = A[r], i = p-1, j;
for(j = p; j < r; j++)
{
if(A[j] <= x)
{
i++;
swap(A[i], A[j]);
}
}
swap(A[i+1], A[r]);
return i+1;
}
int Select(int *A, int p, int r, int i);
//对每一组从start到end进行插入排序，并返回中值
//插入排序很简单，不解释
int Insert(int *A, int start, int end, int k)
{
int i, j;
for(i = 2; i <= end; i++)
{
int t = A[i];
for(j = i; j >= start; j--)
{
if(j == start)
A[j] = t;
else if(A[j-1] > t)
A[j] = A[j-1];
else
{
A[j] = t;
break;
}
}
}
return A[start+k-1];
}
//根据文中的算法，找到中值的中值
int Find(int *A, int p, int r)
{
int i, j = 0;
int start, end, len = r - p + 1;
int *B = new int[len/5+1];
//每5个元素一组，长度为start到end，对每一组进行插入排序，并返回中值
for(i = 1; i <= len; i++)
{
if(i % 5 == 1)
start = i+p-1;
if(i % 5 == 0 || i == len)
{
j++;
end = i+p-1;
//对每一组从start到end进行插入排序，并返回中值,如果是最后一组，组中元素个数可能少于5
int ret = Insert(A, start, end, (end-start)/2+1);
//把每一组的中值挑出来形成一个新的数组
B[j] = ret;
}
}
//对这个数组以递归调用Select()的方式寻找中值
int ret = Select(B, 1, j, (j+1)/2);
//delete []B;
return ret;
}
//以f为主元的划分
int Partition2(int *A, int p, int r, int f)
{
int i;
//找到f的位置并让它与A[r]交换
for(i = p; i < r; i++)
{
if(A[i] == f)
{
swap(A[i], A[r]);
break;
}
}
return Partition(A, p, r);
}
//寻找数组A[p..r]中的第i大的元素，i是从1开始计数，不是从p开始
int Select(int *A, int p, int r, int i)
{
//如果数组中只有一个元素，则直接返回
if(p == r)
return A[p];
//根据文中的算法，找到中值的中值
int f = Find(A, p, r);
//以这个中值为主元的划分，返回中值在整个数组A[1..len]的位置
//因为主元是数组中的某个元素，划分好是这样的，A[p..q-1] <= f < A[q+1..r]
int q = Partition2(A, p, r, f);
//转换为中值在在数组A[p..r]中的位置
int k = q - p + 1;
//与所寻找的元素相比较
if(i == k)
return A[q];
else if(i < k)
return Select(A, p, q-1, i);
else
//如果主元是数组中的某个元素，后面一半要这样写
return Select(A, q+1, r, i-k);
//但是如果主元不是数组中的个某个元素，后面一半要改成Select(A, q, r, i-k+1)
}
void QuickSort(int *A, int p, int r)
{
if(p >= r)
return ;
//用RANDOMIZED-SELECT作为选择中值的算法选择中值
int i = (r - p + 1) / 2;
int x = Select(A, p, r, i);
//以这个中值为主元进行划分
int q = Partition2(A, p, r, x);
//分别对划分后的前后两个部分进行排序
QuickSort(A, p, q-1);
QuickSort(A, q+1, r);
}
int main()
{
int length_A, i;
cin>>length_A;
//生成随机数据
int *A = new int[length_A+1];
for(i = 1; i <= length_A; i++)
A[i] = rand() % 100;
for(i = 1; i <= length_A; i++)
cout<<A[i]<<' ';
cout<<endl;
//排序
QuickSort(A, 1, length_A);
//输出结果
for(i = 1; i <= length_A; i++)
cout<<A[i]<<' ';
cout<<endl;
delete []A;
return 0;
}
四、运行结果