1、逆变换
恒等变换，定义：Ix : Rn->Rm, In(X) = X；相当于从自身到自身的变换；
逆变换定义，变换Fx : Rn->Rm, 如果存在F‘y : Rm->Rn, F'oF = In 且 FoF' = Im，F’称之为F的逆变换，也可以叫逆函数； 这两个条件实际上时可以相互证明的；从形式上也可以看出F和F’互为逆函数。
F存在逆函数，可以说F是可逆的。
F可逆，也意味着F(x) = V，方程存在唯一解。
2、满射和单射
如果一个函数F : X->Y，对于Y的每个成员y，至少存在一个x满足F(x)=y，那么函数F是一个满射函数；
如果对于对于Y的每个成员y,最多存在一个x满足F(x)=y，那么函数F是一个单射函数。
如果一个函数是可逆的，那么它必然是一个满射且是一个单射。
3、如何判断变换是否可逆
变换可以用矩阵乘法Ax = y表示，A是一个mxn的矩阵；
首先它必须是一个满射，那么向量空间Rm的任意向量必须可以表示为Ax，那么A的列空间==Rm，因此A的秩==m；
其次，必须是一个单射，对于Ax=y，每个合法的y值，方程有唯一解，那么A的零空间，只能含有一个向量：零向量。此时A的列向量是线性无关的，因此A的秩==n。
第二点的证明：假设Ax = b的一个解为X，而Ax=0的解空间不止包含零向量，那么 X+Xn（Xn是零空间的非零向量）也是Ax=b的有效解。这样Ax=b就有非唯一解。
可见此时m==n，A是一个方阵。
4、逆变换也是线性变换
假设变换T是线性变换，且可逆，那么T的逆变换T’也是一个线性变换：T'(a+b) = T'oT(T'(a)+T'(b)) = T'(ToT'(a)+ToT'(b)) = T'(a+b);
T'(ca) = T'oT(T'(ca)) = T'(cToT'(a))=T'(T(cT'(a))) = cT'(a)。
5、变换与逆变换的矩阵互逆
ToT' = A*A' = In; 恒等变换的矩阵必然为单位矩阵，所以A，A‘互为逆矩阵。
6、求逆矩阵的方法
可以用求矩阵A简化阶梯形的方式，来求逆矩阵。通过n步行变换将A转化乘简化阶梯形，进一步转化为单位矩阵，每一步变换，相当于对A的所有列向量进行了一次相同的线性变换，这个变换可以用变换矩阵Si来表示。有S1S2...SnA = I =》 S1S2....Sn = A'。
因此只要再对A做行变换的时候，对I做相同的变换，当A变成了单位矩阵，I就变成了A’。
7、2x2矩阵的逆
二维矩阵[{a,c}，{b,d}], 依据上述方法，可以得出它的逆矩阵(1/(ad-bc)) [{d,-c}， {-b,a}]。
只要ad-bc不为零，矩阵就是可逆的。
ad-bc又叫做矩阵的行列式。