1、向量点乘
向量A与向量B的点乘的结果是一个标量，定义为 A.B = A1*B1+...+An*Bn。
2、向量长度
向量V的长度也是一个标量，定义为||V|| = sqrt(V1*V1+V2*V2+...+Vn*Vn)。
可见V.V = ||V||平方。
3、点积的性质
交换率：A.B = B.A
分配率：（A+B).C = A.C + B.C
结合率：（cA).B = c(A.B)
4、柯西施瓦茨不等式
对于向量AB，有 |A.B| <= ||A||||B||。 等号仅在A = cB时成立。
证明：p(t) = ||tA-B|| >=0；
(tA-B).(tA-B)>=0; t*tA.A-2t(A.B)+B.B>=0；
由于取 a = A.A , b = 2(A.B), c = B.B, at*t - bt+c>=0，取t = b/2a, b*b/4a-b*b/2a+c>=0, c>=b*b/4a，4ac>=b*b,代回 4A.A*B.B>=4|A.B|平方，两边开平方得||A||||B||>=|A.B|。
5、三角不等式
||A+B||<=||A||+||B||。等号仅在A=cB时成立。
证明 ||A+B||平方 = （A+B).(A+B) = A.A +2A.B+B.B = ||A||平方 + 2A.B+||B||平方 <=||A||平方+2||A||||B||+||B||平方 = （||A||+||B||)平方。 两边去掉平方。
6、向量夹角
假设向量A，B的夹角为Ɵ，那么A.B = ||A||||B||cosƟ。AB不为0向量。
证明依据三角形余玄定力 c平方 = a平方 + b平方- 2abcosƟ，对应的向量形式就是 ||A-B||平方 = ||A||平方 + ||B||平方 - 2||A||||B||cosƟ；
左侧 = (A-B).(A-B) = ||A||平方 - 2A.B + ||B||平方，代入再消除相等项。
如果A.B=0,则意味这cosƟ = 0, Ɵ=90度，AB垂直。 A,B不能为0向量，否则角度是没有定义的。
如果A.B=0，无论AB是否0向量，此时可以称A与B是正交的。
夹角的定义可以推广的n维控件，尽管在几何上无法表现。
7、向量定义3维平面
通过平面上的一点，和平面的法线向量能够定义一个平面。
假设平面的法线向量N，平面上的一点，用位置向量表示A，任意一点的位置向量X，则有 （X-A).N = 0。
展开这个向量点乘，可以的到平面方程的标准形式 AX+BY+CZ = D。
8、向量叉乘
向量叉乘的结果叫做外积，是一个向量，只对R3向量定义。C = AxB = (A2B3-A3B2, A1B3-B1A3, A1B2-A2B1)。
C与A，B正交，C.A = C.B = 0。 并且A，B，C三个向量的方向符合右手系三维坐标系。
||C|| = ||A||||B||sinƟ，Ɵ是AB的夹角。
9、另一角度看点积和叉积
A.B = ||A||||B||cosƟ，相当于向量A的长度，乘上B在A上投影的长度，体现了两个向量是否方向很一致。
||AxB|| = ||A||||B||sinƟ，相当于向量A的长度，垂直与B的分量与B的乘积，体现了两个向量正交的程度。 叉积的长度值还等于AB构成的平行四边形的面积。
10、矩阵向量乘法
矩阵Mm*n乘以一个向量V(维度为n)的时候，规定此时将向量转发乘一个n*1的矩阵，然后使用矩阵乘法就行了。得到的是一个m*1的矩阵，或列向量。
从另一个角度看，可以把矩阵看成m个行向量[L1,L2,...,Lm]，每个行向量与目标向量做点乘，得到的m个标量组成一个向量 (L1.V,L2.V,...,Lm.V)。
从另一个角度看，又可以把矩阵看成n个列向量[C1,C2,...,Cn]，然后把目标向量的n个分量，作为系数，把n个向量进行线性组合 C1*V1+C2*V2+,...+Cn*Vm。