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关于微积分学”拐弯“的思考

2013年10月08日 ⁄ 综合 ⁄ 共 1008字 ⁄ 字号 评论关闭

     615日,有一位读者(巴洛尔)在《超实线(Hyperrealline)是什么?》一文的留言中写到:”在这里,数学真是一件有趣的东西。“此话有理。为什么?

        在三百多年之前,莱布尼兹(Leibniz1646-1716)在创建微积分学的过程中,注入了许多鲜活的思想和观念,比如:推理”持续律“(law
of continuity
,即非标准分析的转移公理)和齐次性超越定律(transcendental
law of homogeneity
,即非标准分析的取标准部分函数”st”)。这些天才的具有远见性的理论研究,不被当时人们所理解,反而遭到”诟病“。近几十年来,特别是进入本世纪以来,情况发生了很大的变化。

上世纪公理化集合论、数理逻辑与模型论的迅速发展,导致”非标准分析“新学科的建立,从此,现代无穷小的概念有了严格的理论基础。经过对莱布尼兹数学手稿的深入研究,人们终于发现(或认识到):当今的”非标准分析“理论框架只是对莱布尼兹的数学推理的一种”迟到的辩护“(abelated
vindication
)。在1734年,George
Berkeley
对无穷小的”诟病“(逝去量的鬼魂),应当给予”平反“,为无穷小推理恢复名誉。

       现在,从宏观历史发展上来看,三百年来,微积分学似乎拐了一个”大弯“,走了一段弯路。但是,人们并没有深刻地认识到这一事实(即”拐弯“),思想上缺少这根”弦“。微积分学的未来走向将是如何呢?上世纪最伟大的数理逻辑学家KurtGodel曾经这样说过:”There
are good reasons to believe that NonStandard Analysis,in some version or other,will be the analysis of the future“
,意思是说,有许多理由使我们相信,非标准分析将是未来的微积分学。这一评价是很高的。

          现在,我们已经看到,微积分学正在”拐弯“,转向它自己应该去的方向。富含无穷量的微积分学本应符合我们的直观,推理更为简单,叙述更加有趣味性。在新的学年里面,作为理解微积分学的工具,无穷小微积分受到广大年轻学子的喜爱,不再是天方夜谭故事,而是理性的选择。

        普及无穷小微积分需要做许多事情,幸好有外籍人士(包括J.Keisler本人)、台湾省籍人士和大陆企业的支持和帮助,目前,此事得以顺利展开,有望赶上新学期的到来。

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