提要
在图形的计算中，比如旋转、缩放、平移、投影等操作，矩阵都扮演着极其重要的角色，它是操作图元的基本工具。虽然很多的图形API已经封装好了这些矩阵操作，但是理解这些矩阵操作的原理会非常非常有帮助，比如说我们可以通过一些矩阵的快捷计算来加速你的代码。
如果你有一些线性代数的基础，看下面的内容的时候也不会很轻松，因为有点难且比较没意思，如果没有修过这门课，最好把线性代数这本书拿来看看，因为这些东西真是基础中的基础，而且非常的重要。
齐次记法（Homogeneous Notation）
空间一个点对应的是一个空间的位置，一个向量对应一个方向，两者都可以用一个三维向量 V = （Vx, Vy, Vz）来表示.
这两者如果对于变换（比如旋转，缩放），用一个 3*3 矩阵就可以搞定，但对于平移变换就不适用了，因为位置变换对于向量是没有意义的，而对于点才是有意义的。
齐次记法就是用来解决这个问题的。
在齐次记法下，空间点记为 P = （Px, Py, Pz, Pw）, 其中Pw = 1。
空间向量记为 V = （Vx, Vy, Vz, Vw）,其中Vw = 0.
当出现Pw！=0 且Pw ！= 1时，就需要将坐标齐次化了，做法是同除以Pw,记为（Px/Pw, Py/Pw, Pz/Pw, 1）.
齐次记法下的变换矩阵如下所示：
给定一个移动变换矩阵
对于一个向量 V = （Vx, Vy, Vz, Vw）和 T 相乘之后各值不变。
对于一个点 P = （Px, Py, Pz, Pw）和 T 相乘之后结果变为 (Px+tx, Py+ty， Pz+tz， 1).
基础变换
基础的变换包括平移，旋转，缩放，切变，反射，投影等，下面一个个来看。
平移变换
上面已经提到了，平移矩阵用T来表示：
tx，ty和tz分别表示向x，y，z方向移动的距离,如图
注意这个仿射矩阵（Offine Tranform Matrics）对于空间向量是没有作用的。
其逆矩 
旋转矩阵 Rotating
旋转变幻是指绕着一个轴旋转一定的角度，绕x，y，z旋转的旋转矩阵可以记为：
逆阵 
旋转矩阵的行列式都为1，因为它是正交矩阵。
关于图形（或物体）绕自身的某点旋转，其真实的过程是先将物体移动到旋转点与坐标原点相重合的位置，再将图形绕原点旋转，然后再进行平移变换，平移到原先的位置。
整个矩阵计算过程为
缩放变换 Scaling
缩放就是放大和缩小，其矩阵表示为
如果 Sx = Sy = Sz，则称为等比变换（uniform）,否则就不是（nonuniform）。
其逆阵 
Sx，Sy，Sz中有一个为负数，则改矩阵就是反射矩阵，如果刚好有两个因子为 -1， 则图形旋转 
切变变换 Shearing
切变变换可以用于游戏中，制作出爆炸的时候画面抖动的效果，一共有六种：
第一个下标表示要改变的坐标轴，第二个下标表示沿着那个坐标轴变换。相关的矩阵也可以由此得出：第一个下标决定行，第二个决定列，则有：
效果如下：
其逆阵：
级联变换 Concatenation of Transforms
由于矩阵乘法是没有交换率的，所以矩阵相乘的顺序非常重要，比如 S（2, 0.5, 1）和 
将多个矩阵整合到一起的另一个好处是提高了效率，一般的顺序时 TRS。
欧拉变换 Euler TransForm
欧拉变换可以将物体旋转到任意的方向，一个欧拉变换可以分为三个分量 h(ead), p(ich), r(oll)，记为E（h，p，r）。
其实就是三个旋转矩阵的级联矩阵：
使用欧拉变换的时候会出现一个很蛋疼的问题-gimbal lock，可以看看这个视频- youtube
video explaining gimbal lock
还会出现的一个问题就是两个欧拉角之间的插值问题。
为了避免万圣节锁，一个方法是设定好旋转轴的旋转顺序。
另一中方法是使用四元组。
模型矩阵，视口矩阵和投影矩阵 The Model, View and Projection Matrices
模型是由一系列的顶点构成的，顶点的坐标是相对于模型的中心来定义的，如果某个顶点的坐标值是（0，0，0）,就意味着这个顶点在模型的正中间。
现在假设世界坐标在，模型的左边，则模型左边对应于世界坐标需要乘以一个平移矩阵，这个矩阵就是model matrix（模型矩阵）。
人们在操作这个模型的时候，需要对其进行一些变换，就需要将其每个定点移动到原点。
通过下图中黑色的箭头，就是将模型移动到原点。
这个变换矩阵就是model matrix（模型矩阵）。
这个过程可以描述为：
接下来是View Matrix（视口矩阵）。
当你站在一座山的前面，想从各个角度来观察这座山的时候，你可以选择跑到不同的位置去看，也可以选择...移动整座山。这在现实生活中看似不行，但在图形学中，这一切都是可行的。
现在在整个世界中只有一个model，当需要观察这个物体的时候，需要一个摄像机来进行观察，假设摄像机初始化在原点，经过一个平移矩阵移动，
glm::mat4 ViewMatrix = glm::translate(Tx, Ty ,Tz);
这个矩阵就是View Matrix（视口矩阵），对应的就是世界坐标远点到摄像机的变换矩阵，过程可以由下图描述。
这里提一下glm中的一个神奇的lookat函数～超强的生成 View Matrics
glm::mat4 CameraMatrix = glm::LookAt(
cameraPosition, // the position of your camera, in world space
cameraTarget, // where you want to look at, in world space
upVector // probably glm::vec3(0,1,0), but (0,-1,0) would make you looking upside-down, which can be great too
);
整个阶段的描述如下：
接下来是Projection matrices（投影矩阵）
经过前面的Model Matriix 和 View Matrix的变换，现在处在的就是摄像机空间，也就意味着（0，0）上的点就会出现在屏幕的最中央，但是并不是两个坐标就可以决定顶点是否显示，我们不能忽略 Z 坐标，也就是顶点距离摄像机的位置。
在透视投影中，根据顶点的坐标值，当Vx，Vy的值相同的时候，Vz的值越大，顶点就越在中间，可以参考下图。
一个4*4的矩阵可以用来描述投影：
glm::mat4 projectionMatrix = glm::perspective(
FoV, // The horizontal Field of View, in degrees : the amount of "zoom". Think "camera lens". Usually between 90° (extra wide) and 30° (quite zoomed in)
4.0f / 3.0f, // Aspect Ratio. Depends on the size of your window. Notice that 4/3 == 800/600 == 1280/960, sounds familiar ?
0.1f, // Near clipping plane. Keep as big as possible, or you'll get precision issues.
100.0f // Far clipping plane. Keep as little as possible.
);
通过投影矩阵变换，模型从照相机坐标变为了齐次坐标，过程描述如下：
GLSL实战MVP
我们知道，OpenGL中自带了一些接口函数，可以很方便的定义视口，投影矩阵等，但如果使用GLSL的话，所有顶点的位置都是由 *.vert 中的代码来确定，下面我们就来实践一下刚才学习的Model，View，Projection。
首先是两个简单的Shader：
basic.vert
#version 400
layout(location = 0) in vec3 vertexPosition_modelspace;
// Values that stay constant for the whole mesh.
uniform mat4 MVP;
void main(){
// Output position of the vertex, in clip space : MVP * position
gl_Position = MVP * vec4(vertexPosition_modelspace,1);
}
就是将模型坐标与MVP矩阵相乘。
basic.frag
#version 400
// Ouput data
out vec3 color;
void main()
{
// Output color = red
color = vec3(1,0,0);
}
接着时初始化shader，vao
void CGL::compileShader()
{
static const GLfloat g_vertex_buffer_data[] = {
-1.0f, -1.0f, 0.0f,
1.0f, -1.0f, 0.0f,
0.0f, 1.0f, 0.0f,
};
static const GLushort g_element_buffer_data[] = { 0, 1, 2 };
GLuint vertexbuffer;
glGenBuffers(1, &vertexbuffer);
glBindBuffer(GL_ARRAY_BUFFER, vertexbuffer);
glBufferData(GL_ARRAY_BUFFER, sizeof(g_vertex_buffer_data), g_vertex_buffer_data, GL_STATIC_DRAW);
glEnableVertexAttribArray(0);
glBindBuffer(GL_ARRAY_BUFFER, vertexbuffer);
glVertexAttribPointer(
0, // attribute. No particular reason for 0, but must match the layout in the shader.
3, // size
GL_FLOAT, // type
GL_FALSE, // normalized?
0, // stride
(void*)0 // array buffer offset
);
if( ! prog.compileShaderFromFile("shader/basic.vert",GLSLShader::VERTEX) )
{
printf("Vertex shader failed to compile!\n%s",
prog.log().c_str());
exit(1);
}
if( ! prog.compileShaderFromFile("shader/basic.frag",GLSLShader::FRAGMENT))
{
printf("Fragment shader failed to compile!\n%s",
prog.log().c_str());
exit(1);
}
if( ! prog.link() )
{
printf("Shader program failed to link!\n%s",
prog.log().c_str());
exit(1);
}
if( ! prog.validate() )
{
printf("Program failed to validate!\n%s",
prog.log().c_str());
exit(1);
}
prog.use();
}
然后是初始化Uniform变量：
void CGL::setUniform()
{
// Projection matrix : 45° Field of View, 4:3 ratio, display range : 0.1 unit <-> 100 units
glm::mat4 Projection = glm::perspective(45.0f, 4.0f / 3.0f, 0.1f, 100.0f);
// Camera matrix
glm::mat4 View = glm::lookAt(
glm::vec3(3,3,3), // Camera is at (4,3,3), in World Space
glm::vec3(0,0,0), // and looks at the origin
glm::vec3(0,1,0) // Head is up (set to 0,-1,0 to look upside-down)
);
// Model matrix : an identity matrix (model will be at the origin)
glm::mat4 Model = glm::mat4(1.0f);
// Our ModelViewProjection : multiplication of our 3 matrices
glm::mat4 MVP = Projection * View * Model; // Remember, matrix multiplication is the other way around
prog.setUniform("MVP",MVP);
prog.setUniform("modelMatrics",Model);
}
渲染一下：
参考
wiki.变换矩阵 - http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%98%E6%8D%A2%E7%9F%A9%E9%98%B5#.E4.BB.BF.E5.B0.84.E5.8F.98.E6.8D.A2
The Matrix and Quaternions FAQ - http://www.cs.princeton.edu/~gewang/projects/darth/stuff/quat_faq.html
Matrices - http://www.opengl-tutorial.org/beginners-tutorials/tutorial-3-matrices/
Real-Time Rendering 3rd
Fundamentals of Computer Graphics 2rd