學步園

 問題描述：卡塔蘭數，是組合數學中一個常出現在各種計數問題中出現的數列。輸入一個整數n，計算h(n)。其遞歸式如下：h(n)=
h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2，h(0) = h(1) = 1)    該遞推關係的解為：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

        思路：直接根據遞歸式，寫出相應的演算法。

        參考代碼：

       應用1描述：n對括弧有多少種匹配方式？

       思路：n對括弧相當於有2n個符號，n個左括弧、n個右括弧，可以設問題的解為f(2n)。第0個符號肯定為左括弧，與之匹配的右括弧必須為第2i+1字元。因為如果是第2i個字元，那麼第0個字元與第2i個字元間包含奇數個字元，而奇數個字元是無法構成匹配的。

       通過簡單分析，f(2n)可以轉化如下的遞推式 f(2n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n - 4) + ... + f(2n - 4)*f(2) + f(2n-2)*f(0)。簡單解釋一下，f(0) * f(2n-2)表示第0個字元與第1個字元匹配，同時剩餘字元分成兩個部分，一部分為0個字元，另一部分為2n-2個字元，然後對這兩部分求解。f(2)*f(2n-4)表示第0個字元與第3個字元匹配，同時剩餘字元分成兩個部分，一部分為2個字元，另一部分為2n-4個字元。依次類推。

       假設f(0) = 1，計算一下開始幾項，f(2) = 1, f(4) = 2, f(6) = 5。結合遞歸式，不難發現f(2n) 等於h(n)。

       應用2描述：矩陣鏈乘： P=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括弧表示成對的乘積，試問有幾種括弧化的方案？

       思路：可以這樣考慮，首先通過括弧化，將P分成兩個部分，然後分別對兩個部分進行括弧化。比如分成(a1)×(a2×a3.....×an)，然後再對(a1)和(a2×a3.....×an)分別括弧化；又如分成(a1×a2)×(a3.....×an)，然後再對(a1×a2)和(a3.....×an)括弧化。

       設n個矩陣的括弧化方案的種數為f(n)，那麼問題的解為

 
      f(n) = f(1)*f(n-1) + f(2)*f(n-2) + f(3)*f(n-3) + f(n-1)*f(1)。f(1)*f(n-1)表示分成(a1)×(a2×a3.....×an)兩部分，然後分別括弧化。

       計算開始幾項，f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 5。結合遞歸式，不難發現f(n)等於h(n-1)。

 
    應用3描述：一個棧(無窮大)的進棧序列為1，2，3，…，n，有多少個不同的出棧序列?

      思路：這個與加括弧的很相似，進棧操作相當於是左括弧，而出棧操作相當於右括弧。n個數的進棧次序和出棧次序構成了一個含2n個數字的序列。第0個數字肯定是進棧的數，這個數相應的出棧的數一定是第2i+1個數。因為如果是2i，那麼中間包含了奇數個數，這奇數個肯定無法構成進棧出棧序列。

 
     設問題的解為f(2n)， 那麼f(2n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n-4) + f(2n-2)*f(0)。f(0) * f(2n-2)表示第0個數字進棧後立即出棧，此時這個數字的進棧與出棧間包含的數字個數為0，剩餘為2n-2個數。f(2)*f(2n-4)表示第0個數字進棧與出棧間包含了2個數字，相當於1 2 2 1，剩餘為2n-4個數字。依次類推。

       假設f(0) = 1，計算一下開始幾項，f(2) = 1, f(4) = 2, f(6) = 5。結合遞歸式，不難發現f(2n) 等於h(n)。

 
     應用4描述：n個節點構成的二叉樹，共有多少種情形？

 
     思路：可以這樣考慮，根肯定會佔用一個結點，那麼剩餘的n-1個結點可以有如下的分配方式，T(0, n-1),T(1, n-2),...T(n-1, 0)，設T(i, j)表示根的左子樹含i個結點，右子樹含j個結點。

 
     設問題的解為f(n)，那麼f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + .......+ f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0)。假設f(0) = 1，那麼f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 5。結合遞推式，不難發現f(n)等於h(n)。

 
     應用5描述：在圓上選擇2n個點，將這些點成對連接起來使得所得到的n條線段不相交的方法數？

 
     思路：以其中一個點為基點，編號為0，然後按順時針方向將其他點依次編號。那麼與編號為0相連點的編號一定是奇數，否則，這兩個編號間含有奇數個點，勢必會有個點被孤立，即在一條線段的兩側分別有一個孤立點，從而導致兩線段相交。設選中的基點為A，與它連接的點為B，那麼A和B將所有點分成兩個部分，一部分位於A、B的左邊，另一部分位於A、B的右邊。然後分別對這兩部分求解即可。

 
     設問題的解f(n)，那麼f(n) = f(0)*f(n-2) + f(2)*f(n-4) + f(4)*f(n-6) + ......f(n-4)*f(2) + f(n-2)*f(0)。f(0)*f(n-2)表示編號0的點與編號1的點相連，此時位於它們右邊的點的個數為0，而位於它們左邊的點為2n-2。依次類推。

 
     f(0) = 1, f(2) = 1, f(4) = 2。結合遞歸式，不難發現f(2n) 等於h(n)。

 
    應用6描述：求一個凸多邊形區域劃分成三角形區域的方法數？

      思路：以凸多邊形的一邊為基，設這條邊的2個頂點為A和B。從剩餘頂點中選1個，可以將凸多邊形分成三個部分，中間是一個三角形，左右兩邊分別是兩個凸多邊形，然後求解左右兩個凸多邊形。

      設問題的解f(n)，其中n表示頂點數，那麼f(n) = f(2)*f(n-1) + f(3)*f(n-2) + ......f(n-2)*f(3) + f(n-1)*f(2)。f(2)*f(n-1)表示三個相鄰的頂點構成一個三角形，那麼另外兩個部分的頂點數分別為2和n-1。

      設f(2) = 1，那麼f(3) = 1, f(4) = 2, f(5) = 5。結合遞推式，不難發現f(n) 等於h(n-2)。

 
    應用7描述：有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？

 
   思路：可以將持5元買票視為進棧，那麼持10元買票視為5元的出棧。這個問題就轉化成了棧的出棧次序數。由應用三的分析直接得到結果，f(2n) 等於h(n)。

 
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