假若素数只有有限多个，设最大的一个是P，从2到P的全体素数是：
2，3，5，7，11……，P。
所有的素数都在这里，此外再没有别的素数了。
现在，我们来考察上面从2到P的全体素数相乘、再加上1这个数，设它是A，即
A=2×3×5×7×11×……×P+1。
A是一个大于1的正整数，它不是素数，就是合数。
如果A是素数，那么，就得到了一个比素数P还要大的素数，这与素数P是最大素数的假设矛盾。
如果A是合数，那么，它一定能够被某个素数整除，设它能被g整除。
因为A被从2到P的任何一个素数除，余数都是1，就是都不能整除，而素数g是能整除A的，所以素数g不在从2到P的全体素数之中。这说明素数g是一个比素数P更大的素数，这又与P是最大的素数的假设矛盾。
上面的证明否定了素数只有有限多个的假定，这就证明了素数是无穷多个。