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《编程之美》读书笔记04： 1.8 小飞的电梯调度算法

 

假设电梯有n层，上楼要消耗能量k₁，下楼要消耗能量k₂，用a[i]表示要在第i层下的人数，S_i为到i层时已经下（包括i层）的总人数，则总人数S=S_n。若用F(i)表示电梯在i层停时要消耗的总能量，则电梯在i+1层停时，有S_i人要多下一层，（S-S_i）人少上一层。则：  

F(i+1) = F(i) + k₂*S_i - k₁*(S-S_i) = F(i) + (k₂+k₁)*S_i – k₁*S ＝ F(i) + G(i)

（定义G(i) = (k₂+k₁)*S_i – k₁*S）

 

由于S_i是递增的，G(i)也是递增的，当G(i) <= 0，F(i+1) <= F(i)，“求使F(i)最小的i”问题等同于 “求使G(i)＝(k₂+k₁)*S_i – k₁*S <= 0的最大i值”（所得i值+1即为原问题的解），或 “求使G(i)＝(k₂+k₁)*S_i – k₁*S >= 0的最小i值”（所得i值即为原问题的解）。注意：等号可取可不取。

 

对书上原题：k₁=k₂=1，G(i)=2*S_i – S >= 0，可以扫描数组两遍，第一遍算出S，第二遍算出使 2*S_i – S < 0 的最大i值。也可以只扫找一遍，用两个指针分别指向数组的开头和结尾，一个向前移动，一个向后移动，并同时开始计算最前几个数的和S_{2, i}和最后几个数的和S_{j, n}，通过调整两个指针位置，使S_{2, i}<= S_{j, n}总成立并使i尽可能的大，这样扫描完毕，

2*S_{2, i} <= S_{2, i} + S_{i+1, n} = S，且 2*S_{2, i+1} >= S。

 

（书中解法二的分析与给出的代码不对应，只有证明“使N1 + N2 >= N3成立的第一个i值就是全局最优解”，才能保证给出的代码的正确性。）

程序代码//arr[i] 为在第i层要下的人数，因而i>=2;
 2int lift(int *arr, unsigned sz, int& total)
 3{
 4  assert(sz>=3);
 5  int i, sum=0, count=0;
 6  total=0;
 7  for (i=2; i<sz; i++){
 8    sum += arr[i];
 9    total += arr[i]*i;
10  }
11  total = total - sum * 2;
12  for ( i=2; ; i++){
13    count += arr[i] * 2;
14    if ( count >= sum ) break;
15    total += count - sum;
16  }
17  return i;
18}
19
20
21
22//arr[i] 为在第i层要下的人数，因而i>=2;
23
24int lift2(int *arr, unsigned sz, int& total)
25{
26  assert(sz>=3);
27  int *low=arr+2, *high=arr+sz-1;
28  int sum_a=0, sum_b=0, sum_ta=0, sum_tb=0;
29  while (low <= high){
30    if (sum_a <= sum_b){
31      sum_a += *low++;
32      sum_ta += sum_a;
33    } else{
34      sum_b += *high--;
35      sum_tb += sum_b;
36    }
37  }
38  --low;
39//电梯所停的那层始终被计算了,要扣除
40  if (sum_a >= sum_b){
41    sum_ta -= sum_a;
42  } else{
43    ++low;
44sum_tb -= sum_b;
45  }
46
47  total = sum_ta + sum_tb;
48  return low - arr;
49}
50