绕任意轴旋转的矩阵推导

左手坐标系下，一点绕任意轴旋转θ角的右乘矩阵：

其中C为cosθ，S为sinθ，A为单位化的旋转轴

以下推导均为左手坐标

首先我们将P看成从原点出发的自由向量，将其分解为平行于轴A与垂直于轴A的分量A1，A2的形式：

    （公式1）

如图2：

图2 

                        （公式2）

               （公式3）

由于平行分量A1在旋转过程中保持不变，问题就在于垂直分量A2。先将A2旋转θ度后（A3）再加上A1就可以得到最终的旋转结果。如图3： 

图3蓝色的点为P点旋转θ度后的位值

旋转后的位置点P＇为：

   （公式4）

因为A2到A3的旋转是在垂直于A轴平面内进行的，所以可以将A3分解为A2与A2逆时针方向旋转90度的向量A4上的两个分量的形式。如图4：

图4

下面我们来求A4
A2可以看成φ的对边，如图5：

图5 

A2的长度为：

   （公式5）

我们想要的向量A4正好为：

   （公式6）

    （公式7）

因为A为单位向量所以（公式7）与（公式5）相等，这样长度相等并且同时垂直于A1，A2，所以就是我们要求的A4。 

接下为求A3，我们用一个垂直于A的平面图来看一下，这样更直接，如图6：

图6 

A2＇与A4＇分别为A3在A2与A4上的分量。

   （公式8)

   （公式9）

   （公式10）

因为：A2，A3，A4的长度都相等所以上面的两式化简为：

   （公式11）

   （公式12）

将以上公式代入到（公式4）中计算最终结果：

整理后得： 

   （公式13）

设：

写成矩阵的形式为：

   （公式14）

   （公式15）

   （公式16）

代入（公式13）得：

最终齐次的旋转矩阵为：

   （公式17）