SVD分解是LSA的数学基础，本文是我的LSA学习笔记的一部分，之所以单独拿出来，是因为SVD可以说是LSA的基础，要理解LSA必须了解SVD，因此将LSA笔记的SVD一节单独作为一篇文章。本节讨论SVD分解相关数学问题，一个分为3个部分，第一部分讨论线性代数中的一些基础知识，第二部分讨论SVD矩阵分解，第三部分讨论低阶近似。本节讨论的矩阵都是实数矩阵。

基础知识

1.
矩阵的秩：矩阵的秩是矩阵中线性无关的行或列的个数

2.
对角矩阵：对角矩阵是除对角线外所有元素都为零的方阵

3.
单位矩阵：如果对角矩阵中所有对角线上的元素都为零，该矩阵称为单位矩阵

4.
特征值：对一个M x M矩阵C和向量X，如果存在λ使得下式成立

则称λ为矩阵C的特征值，X称为矩阵的特征向量。非零特征值的个数小于等于矩阵的秩。

5.
特征值和矩阵的关系：考虑以下矩阵

该矩阵特征值λ1
= 30,λ2 = 20,λ3 = 1。对应的特征向量

假设V^T=(2,4,6)
计算S x V^T

有上面计算结果可以看出，矩阵与向量相乘的结果与特征值，特征向量有关。观察三个特征值λ1
= 30,λ2 = 20,λ3 = 1，λ3值最小，对计算结果的影响也最小，如果忽略λ3，那么运算结果就相当于从(60,80,6)转变为(60,80,0)，这两个向量十分相近。这也表示了数值小的特征值对矩阵-向量相乘的结果贡献小，影响小。这也是后面谈到的低阶近似的数学基础。

矩阵分解

1.
方阵的分解

1)
设S是M x M方阵，则存在以下矩阵分解

其中U
的列为S的特征向量，为对角矩阵，其中对角线上的值为S的特征值，按从大到小排列：

2)
设S是M x M 方阵，并且是对称矩阵，有M个特征向量。则存在以下分解

其中Q的列为矩阵S的单位正交特征向量，仍表示对角矩阵，其中对角线上的值为S的特征值，按从大到小排列。最后，Q^T=Q^-1，因为正交矩阵的逆等于其转置。

2.
奇异值分解

上面讨论了方阵的分解，但是在LSA中，我们是要对Term-Document矩阵进行分解，很显然这个矩阵不是方阵。这时需要奇异值分解对Term-Document进行分解。奇异值分解的推理使用到了上面所讲的方阵的分解。

假设C是M
x N矩阵，U是M x M矩阵，其中U的列为CC^T的正交特征向量，V为N
x N矩阵，其中V的列为C^TC的正交特征向量，再假设r为C矩阵的秩，则存在奇异值分解：

其中CC^T和C^TC的特征值相同，为

Σ为M
X N，其中，其余位置数值为0，的值按大小降序排列。以下是Σ的完整数学定义：

σ_i称为矩阵C的奇异值。

用C乘以其转置矩阵C^T得：

上式正是在上节中讨论过的对称矩阵的分解。

奇异值分解的图形表示：

从图中可以看到Σ虽然为M
x N矩阵，但从第N+1行到M行全为零，因此可以表示成N x N矩阵，又由于右式为矩阵相乘，因此U可以表示为M x N矩阵，V^T可以表示为N
x N矩阵

3.
低阶近似