【卢卡斯(Lucas)定理】
Lucas定理用来求C(a,b)mod p的值,其中p为素数。
数学表达式为:
Lucas(a,b,q)=C(a%q,b%q)*Lucas(a/p,b/p,p);
Lucas(a,0,q)=0;
通过这个定理就可以很方便的把大数的组合转化成小数。但其中还是要求C(a%q,b%q)%p,所以这里引入逆元来求。
【定义】若整数a,b,p, 满足a·b≡1(mod p).则称a 为b 模p 的乘法逆元, 即a=b- 1mod p.其中, p 是模数。
应用到组合数中来就是:
a!/[b!*(a-b)!] % p == a! * [b!*(a-b)!]-1 %p
【逆元求法】:
应用费马小定理,ap-1=1 mod p ,即 a*ap-2=1 mod p
也就是说 ap-2就是a的逆元。
当然这里求出来的逆元是在取模p的逆元,对我们最终目标没有影响。这也是比较方便而且比较好的方法。
弄个模板来。
#include <cstdio> #include <iostream> #include <cmath> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; #define maxn 100010 typedef long long LL; LL m,n,p; LL Pow(LL a,LL b,LL mod) { LL ans=1; while(b) { if(b&1) { b--; ans=(ans*a)%mod; } else { b/=2; a=(a*a)%mod; } } return ans; } LL C(LL n,LL m) { if(n<m) return 0; LL ans=1; for(int i=1;i<=m;i++) { ans=ans*(((n-m+i)%p)*Pow(i,p-2,p)%p)%p; } return ans; } LL Lucas(LL n,LL m) { if(m==0) return 1; return (Lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p))%p; } int main() { int t; scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p); printf("%lld\n",Lucas(n,m)); } return 0; }