学步园

6.1    线段树简介

线段树的定义如下：

        一棵二叉树，记为T (a,b)，参数a,b表示该结点表示区间[a,b]。区间的长度b-a记为L。递归定义T[a,b]：

        若L>1 ：[a, (a+b) div 2]为 T的左儿子

                        [(a+b)div 2,b]为T的右儿子。
        若L=1 ：T为一个叶子结点。

表示区间[1, 10]的线段树表示如下：

树一般有两种形式：1、以点为结点。2、以线段为结点。区别如图：上面一个以线段为结点，下面一个以点为结点：

对线段树存在：

定理：线段树把区间上的任意一条线段都分成不超过2logL条线段。

这个结论为线段树能在O(logL)的时间内完成一条线段的插入、删除、查找等工作，提供了理论依据。

对线段树的可以进行扩展。

1.  测度。结点所表示区间中线段覆盖过的长度，存储在各结点中。

2.  独立线段数。区间中互不相交的线段条数。

3.  权和。区间所有元线段的权和。

测度的递推公式如下：

                 a[j] - a[i]                                                  该结点 Count>0

M =          0                                                              该结点为叶结点且 Count=0

                 Leftchild ↑ .M + Rightchild ↑ .M         该结点为内部结点且 Count=0连续段数

这里的连续段数指的是区间的并可以分解为多少个独立的区间。如 [1 ， 2] ∪[2，3]∪ [5 ， 6] 可以分解为两个区间[1 ， 3] 与 [5 ， 6] ，则连续段数为 2 。增加一个数据域 Lines_Tree.line 表示该结点的连续段数。 Line 的讨论比较复杂，内部结点不能简单地将左右孩子的 Line 相加。所以再增加 Lines_Tree.lbd 与 Lines_Tree.rbd 域。定义如下：  

                 1   左端点 I 被描述区间盖到

lbd  = 

                 0    左端点 I 不被描述区间盖到

                1     右端点 J 被描述区间盖到

rbd  = 

                0     右端点 J 不被描述区间盖到

lbd 与 rbd 的实现：

                1  该结点 count > 0

lbd  =      0  该结点是叶结点且 count = 0

                leftchild ↑ .lbd    该结点是内部结点且 Count=0

                1  该结点 count > 0

rbd  =    0  该结点是叶结点且 count = 0

                rightchild ↑ .rbd   该结点是内部结点且 Count=0

有了 lbd 与 rbd ， Line 域就可以定义了：

                1  该结点 count > 0

Line =     0  该结点是叶结点且 count =0

                Leftchild ↑ .Line  +  Rightchild ↑.Line  -  1  当该结点是内部结点且 Count=0 ， Leftchild ↑ .rbd = 1 且 Rightchild ↑ .lbd = 1

                Leftchild ↑.Line  +  Rightchild ↑ .Line   当该结点是内部结点且 Count=0 ， Leftchild ↑ .rbd 与 Rightchild ↑ .lbd 不都为1

6.2    利用线段树实现区间的动态插入和删除

6.2.1   实例

PKU JudgeOnline, 1151, Atlantis.

6.2.2   问题描述

在二维平面分部着一些矩形，矩形有可能重合。求矩形的总面积。

6.2.3   分析

这个题在《算法艺术与信息学竞赛》中第一章介绍数据结构时，讲到线段树的时候有解题分析。

用线段树来记载纵向上是不是被覆盖，用测度来表示区间中被覆盖了多少长度。

为了降低复杂度，可以将坐标离散化，如下图所示：

从左到右扫描长方形的左侧边和右侧边，如果是左侧边则加入线段树中，否则从线段书中删除。同时用横向扫描的距离乘以线段树的测度，就得到了扫描过了的被覆盖的面积。

本题和PKU JudgeOnline,1117, Picture题都对线段树进行了扩展。本题只用到了测度的扩展，而1117题还用到了独立线段数的扩展。

6.2.4   程序

//离散化+ 线段树+ 扫描线<br /> //本题与JudgeOnline 1177 picture 极相似,现在回想起来甚至比1177 还要简单一些.与1177 不同的是本题中的坐标是浮点<br /> //类型的故不能将坐标直接离散.我们必须为它们建立一个对应关系,用一个整数去对应一个浮点数<br /> //这样的对应关系在本题的数组y[] 中<br /> #include<iostream><br /> #include<algorithm><br /> #include<cmath><br /> #include<iomanip><br /> using namespace std;</p> <p>struct node{<br /> int st, ed,c; //c : 区间被覆盖的层数,m: 区间的测度<br /> double m;<br /> }ST[802];<br /> struct line{<br /> doublex,y1,y2; //纵方向直线, x:直线横坐标, y1 y2:直线上的下面与上面的两个纵坐标<br /> bools; //s = 1: 直线为矩形的左边, s = 0:直线为矩形的右边<br /> }Line[205];<br /> double y[205],ty[205]; //y[] 整数与浮点数的对应数组;ty[]:用来求y[]的辅助数组</p> <p>void build(int root, int st, int ed){<br /> ST[root].st = st;<br /> ST[root].ed = ed;<br /> ST[root].c = 0;<br /> ST[root].m = 0;<br /> if(ed - st> 1){<br /> int mid= (st+ed)/2;<br /> build(root*2, st, mid);<br /> build(root*2+1, mid, ed);<br /> }<br /> }<br /> inline void updata(int root){<br /> if(ST[root].c> 0)<br /> //将线段树上区间的端点分别映射到y[]数组所对应的浮点数上,由此计算出测度<br /> ST[root].m = y[ST[root].ed-1] -y[ST[root].st-1];<br /> else if(ST[root].ed - ST[root].st == 1)<br /> ST[root].m = 0;<br /> elseST[root].m = ST[root*2].m + ST[root*2+1].m;<br /> }<br /> void insert(int root, int st, int ed){<br /> if(st <=ST[root].st && ST[root].ed <= ed){<br /> ST[root].c++;<br /> updata(root);<br /> return;<br /> }<br /> if(ST[root].ed- ST[root].st == 1)return ;//不出错的话这句话就是冗余的<br /> int mid =(ST[root].ed + ST[root].st)/2;<br /> if(st <mid)<br /> insert(root*2, st, ed);<br /> if(ed >mid)<br /> insert(root*2+1, st, ed);<br /> updata(root);<br /> }<br /> void Delete(int root, int st, int ed){<br /> if(st <=ST[root].st && ST[root].ed <= ed){<br /> ST[root].c--;<br /> updata(root);<br /> return;<br /> }<br /> if(ST[root].ed- ST[root].st == 1)return ; //不出错的话这句话就是冗余的<br /> int mid =(ST[root].st + ST[root].ed)/2;<br /> if(st <mid)<br /> Delete(root*2, st, ed);<br /> if(ed >mid)<br /> Delete(root*2+1, st, ed);<br /> updata(root);<br /> }<br /> int Correspond(int n, double t){<br /> //二分查找出浮点数t 在数组y[]中的位置(此即所谓的映射关系)<br /> intlow,high,mid;<br /> low = 0; high = n-1;<br /> while(low< high){<br /> mid = (low+high)/2;<br /> if(t> y[mid])<br /> low = mid + 1;<br /> elsehigh = mid;<br /> }<br /> returnhigh+1;<br /> }<br /> bool cmp(line l1, line l2){<br /> return l1.x< l2.x;<br /> }</p> <p>int main()<br /> {<br /> intn,i,num,l,r,c=0;<br /> doublearea,x1,x2,y1,y2;<br /> while(cin>>n,n){<br /> for(i =0; i < n; i++){<br /> cin>>x1>>y1>>x2>>y2;<br /> Line[2*i].x = x1; Line[2*i].y1 =y1; Line[2*i].y2 = y2; Line[2*i].s = 1;<br /> Line[2*i+1].x = x2; Line[2*i+1].y1= y1; Line[2*i+1].y2 = y2; Line[2*i+1].s = 0;<br /> ty[2*i] = y1; ty[2*i+1] = y2;<br /> }<br /> n <<= 1;<br /> sort(Line, Line+n, cmp);<br /> sort(ty, ty+n);<br /> y[0] = ty[0];<br /> //处理数组ty[]使之不含重覆元素,得到新的数组存放到数组y[]中<br /> for(i=num=1;i < n; i++)<br /> if(ty[i]!= ty[i-1])<br /> y[num++] = ty[i];<br /> build(1, 1, num); //树的叶子结点与数组y[]中的元素个数相同,以便建立一一对应的关系<br /> area = 0;<br /> for(i =0; i < n-1; i++){<br /> //由对应关系计算出线段两端在树中的位置<br /> l = Correspond(num, Line[i].y1);<br /> r = Correspond(num, Line[i].y2);<br /> if(Line[i].s)//插入矩形的左边<br /> insert(1, l, r);<br /> else //删除矩形的右边<br /> Delete(1, l, r);<br /> area += ST[1].m * (Line[i+1].x -Line[i].x);<br /> }<br /> cout<<"Testcase #"<<++c<<endl<<"Totalexplored area: ";<br /> cout<<fixed<<setprecision(2)<<area<<endl<<endl;<br /> }<br /> return 0;<br /> }

6.3    计算数组区间第K大的数

PKU JudgeOnline, 2761, Feed the dogs则是线段树的另外一个应用：实用线段树来计算数组区间[i, j]中元素第k小（或第K大）的数。只要添写一个函数，根据线段树中每个结点的覆盖树木来判断第k大的树是哪一个。

当初始化，或者区间[i, j]发生变化时，需要对线段树进行添加或者删除操作。每当增加（或删除）一个大小为X的点时，就在树上添加（或删除）一条(X,MaxLen)的线段（不含端点），当要查询一个点的排名时，只要看看其上有多少条线段就可以了。

int query(int root, intcount)<br /> {<br /> if(count<= ST[root].c){<br /> returnST[root].st;<br /> }else if(ST[root].ed - ST[root].st == 1){<br /> returnST[root].ed;<br /> }<br /> count -= ST[root].c;<br /> if(count<= ST[root*2+1].c){<br /> returnquery(root*2, count);<br /> }else{<br /> returnquery(root*2+1, count);<br /> }<br /> }