引子：学习机器学习到一定程度，必然就会碰到数学瓶颈的问题，在这些数学瓶颈中，线性代数是其中一个重要障碍。如果能够较为深入地理解线性代数，会大大提高机器学习的理解和应用能力。因此，决定写一个线性代数的系列，来记录自己重读线性代数的过程，与同道中人共勉。
既然我们谈到线性代数，那么什么是线性代数呢？
一句话：线性代数是关于有限维向量空间中线性映射的学科。
上面的定义有两个加黑的地方：有限维向量空间和线性映射。
（一） 我们先来谈谈什么是有限维向量空间
这个名词很显然可以拆解为两个部分：有限维+向量空间，有限维是限定词，核心词是向量空间，
所以我们先来看看什么是向量空间， 根据直觉，类似于欧几里得空间（如平面和三维空间），向量空间是一个元素（如点）的集合吗？
答案是不全对，严格地说，向量空间是满足一定结构的集合，即满足一定条件的集合。那么是什么条件呢？
主要有如下：（1）集合中元素的加法满足交换律；
（2）加法元在集合中，所谓加法元就是集合中任何的元素加上加法元，不改变这个元素；
（3）集合中元素的加法逆在这个集合中，所谓加法逆就是某个元素加上这个加法逆的结果为加法元；
（4）满足加法的结合律；
（5）乘法元在集合中，所谓乘法元就是集合中任何的元素数乘乘法元，不改变这个元素；
（6）满足数乘对于加法操作的分配率；
在满足这6个条件之后，我们就称这个集合是向量空间；
在看了这6个条件之后，是不是觉得特别熟悉啊，是的，小学我们就学过三大定律（交换律，分配率，结合律），这是我们小学学的内容是这里的向量空间的一个特例。
(shinningmonster, SEWM)
在弄清楚了向量空间的概念之后，我们来看看对于一个向量，什么叫有限维的？
直觉地，是不是讲每个元素的维度是有限的呢？就像三维空间里面一样。
答案是也对也不对，在讲有限维的时候，我们必须先弄清楚一个概念“张成”
假设一个向量空间中存在n个元素（v1, v2, ..., vn)，使得向量空间的任何元素u 都可以表示为 u = a_1* v1 + a_2*v2+...+ a_n*vn,
那么我就说这n个元素“张成”这个向量空间。
如果n是有限的，那么就称这个向量空间是有限维向量空间。
（二）那么什么是线性映射呢？
映射就是函数的别名，线性映射就是满足以下两个条件的函数T：（1）T（v+u) = T(v) + T(u); （2）T(av) = aT(v);
总结起来：线性代数就是研究在有限维向量空间中的线性映射（函数）的学科。所以一方面我们得考察有限维向量空间的性质；另一方面就是考察各种这类空间上的线性函数。
附：为了以后描述方便，补充向量空间的“和”与“直和”两个概念
向量空间和：让空间中的每一个元素和其它空间的任意元素都相加得到的空间；
向量空间的直和：如果一堆子空间能唯一地把一个空间表示为它们的和，称这个空间是这堆子空间的直和。
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