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摘要：CRC循环冗余校验算法，是一种在数据存储和数据通讯领域中使用十分广泛的编码算法，具有强力的检错和纠错能力，并且开销比较小。本文从CRC基本原理出发，介绍了CRC快速算法的原理，以C语言为实现手段，实现了该算法。
1. 引言
在数据存储和数据通讯领域，为了保证数据的正确，就不得不采用检错或者纠错的编码手段。在诸编码方式中，CRC是其中著名的一种，其特点是，检错能力极强，开销小，易于用编码器及检测电路实现；从其检错能力来看，它所不能发现的错误的几率仅为0.0047%以下。从性能上和开销上考虑，均远远优于奇偶校验及算术和校验等方式。因而，在数据存储和数据通讯领域，CRC都被广泛运用，例如，通讯协议X.25的FCS(帧检错序列)采用的是CRC-CCITT，ARJ、LHA等压缩工具软件采用的是CRC32，磁盘驱动器的读写采用了CRC16，通用的图像存储格式GIF、TIFF等也都使用CRC作为检错手段。
2. CRC原理
CRC校验是一种线性编码理论，对于要传输n位二进制码序列，在发送端，根据已定的生成多项式，按照一定的规则，产生一段k位的校验码（即CRC码），附在要发送的信息后，构成一个新的长为（n+k）位的二进制码序列，再发送给接收端。在接收端，则根据接收的数据部分和CRC之间是否预定的关系，从而判定在传输过程中是否出现传输错误。
CRC的计算是一种模2的除法，与普通的除法主要的差别是在计算过程中减法，使用的不借位/进位的模2加运算，等同于按位异或。
二进制序列数据流，可以用模2多项式表示，多项式的系数就是序列的值。如101011可以表示为: 。
假设要传输的n位长度的二进制序列，表示为： ，
使用的CRC生成多项式，记为：
如果将二进制序列和生成多项式，进行下面的计算：
（2-1）
得到的 就是CRC校验码，它的长度应该是比生成多项式少一位，要发送的数据就是： 。
在接收端，对数据进行校验就是将接收到数据和已定的CRC生成多项式进行模2除，即： （2-2）
根据式2-1，可以得到：
（2-3）
根据，根据相同的序列按位异或的结果为0，因此，式2-3的就可以化为：
（2-4）
从中就可以看出，接收端计算的结果是整除的，没有余数，这也就是CRC在接收端判断数据是否正确的标准。
因此整个CRC计算过程就是将要发送的信息左移k位，然后将与生成多项式进行模2除法，等到的k位长的余数就是CRC校验信息。
CRC的标准时多种多样的，一般是依据生成多项式的长度分为CRC-8，CRC16等，以下就是几种典型的生成多项式：
3. CRC-16快速算法原理
在工程运用中，基于上面介绍的按照模2除法，计算CRC校验算法的工作量是很大的，特别是对于越长的序列，因为没1为数据就要进行一个计算。例如一个以太网数据包的包长最大为1518byte，计算这样的一个数据包需要的时间和计算量的花费很多，找到一种快速的CRC计算方法（也成并行CRC算法），对于工程应用是十分有必要的。
可以采用增加每次CRC的输入的数据长度来简化运算需要的时间和运算量，一般使用1byte输入数据代替1bit的输入。
以CRC-8为例，如果要计算一个16bit的数据的CRC-8。
16bit数据,记为： ，其中 就是第1byte的数据， 是第2byte的数据。
那么按照前面介绍的CRC原理，计算过程：
（3-1）
假定,
（3-2）
那么,
（3-3）
由式3-3可以看到，最后的CRC编码结果，是由数据的第1byte数据单独的CRC编码的结果，与第2byte的按位异或得到的结果，再一次进行CRC编码的结果。
以此类推，任何长度的数据，从第1byte数据起，前1byte的数据的CRC-8校验的结果与后1byte的数据按位异或后得到的数据，再一次进行CRC-8校验，直至整个数据结束。
在此过程中，每次CRC-8校验的结果都是以被除数是一一对应的，如果将这些结果预先存储下来，然后通过查表的方式进行计算，就大大减少了计算的时间和工作量。对于CRC-8来说，将上次计算的结果，作为查表的依据，将查表得结果与输入的1byte数据进行按位异或的结果，就是本次计算的结果，以此进行数据结束。
对于CRC-16,CRC-32等也可以按照上面类似的方法，进行改进来完成。
对于CRC-16来说，每次计算的过程是，拿上次的结果的高字节为查表的依据，查余项表得到的结果的高字节与上次结果的低字节的按位异或的结果就是本次计算结果的高字节，查余项表得到的结果的低字节与输入字节的按位异或的结果就是本次计算结果的低字节。在整个过程中，需要计算的数据，除信息数据外，还有两byte的全0数据。
在实际计算的过程中，为了省去最后16位填充0的计算，那么可以将输入的数据左移16位后再进行查表就能达到这个目的。那么查表过程就变为，将上次的结果和高字节与输入的结果进行按位异或作为查表的依据，查表结果的高字节与上次结果的低字节进行按位异或得到本次计算结果的高字节，查表结果的低字节就是本次计算结果的低字节。
4. CRC余项表
CRC余项表是快速算法的核心，CRC余项表的每个表项的数据，是该数据的标号，进行对应的CRC校验，所得到的结果。
下面就是一个CRC-16的余项表：
unsigned short CRC_table[256] =
{
0x0000, 0x1189, 0x2312, 0x329b, 0x4624, 0x57ad, 0x6536, 0x74bf,
0x8c48, 0x9dc1, 0xaf5a, 0xbed3, 0xca6c, 0xdbe5, 0xe97e, 0xf8f7,
0x1081, 0x0108, 0x3393, 0x221a, 0x56a5, 0x472c, 0x75b7, 0x643e,
0x9cc9, 0x8d40, 0xbfdb, 0xae52, 0xdaed, 0xcb64, 0xf9ff, 0xe876,
0x2102, 0x308b, 0x0210, 0x1399, 0x6726, 0x76af, 0x4434, 0x55bd,
0xad4a, 0xbcc3, 0x8e58, 0x9fd1, 0xeb6e, 0xfae7, 0xc87c, 0xd9f5,
0x3183, 0x200a, 0x1291, 0x0318, 0x77a7, 0x662e, 0x54b5, 0x453c,
0xbdcb, 0xac42, 0x9ed9, 0x8f50, 0xfbef, 0xea66, 0xd8fd, 0xc974,
0x4204, 0x538d, 0x6116, 0x709f, 0x0420, 0x15a9, 0x2732, 0x36bb,
0xce4c, 0xdfc5, 0xed5e, 0xfcd7, 0x8868, 0x99e1, 0xab7a, 0xbaf3,
0x5285, 0x430c, 0x7197, 0x601e, 0x14a1, 0x0528, 0x37b3, 0x263a,
0xdecd, 0xcf44, 0xfddf, 0xec56, 0x98e9, 0x8960, 0xbbfb, 0xaa72,
0x6306, 0x728f, 0x4014, 0x519d, 0x2522, 0x34ab, 0x0630, 0x17b9,
0xef4e, 0xfec7, 0xcc5c, 0xddd5, 0xa96a, 0xb8e3, 0x8a78, 0x9bf1,
0x7387, 0x620e, 0x5095, 0x411c, 0x35a3, 0x242a, 0x16b1, 0x0738,
0xffcf, 0xee46, 0xdcdd, 0xcd54, 0xb9eb, 0xa862, 0x9af9, 0x8b70,
0x8408, 0x9581, 0xa71a, 0xb693, 0xc22c, 0xd3a5, 0xe13e, 0xf0b7,
0x0840, 0x19c9, 0x2b52, 0x3adb, 0x4e64, 0x5fed, 0x6d76, 0x7cff,
0x9489, 0x8500, 0xb79b, 0xa612, 0xd2ad, 0xc324, 0xf1bf, 0xe036,
0x18c1, 0x0948, 0x3bd3, 0x2a5a, 0x5ee5, 0x4f6c, 0x7df7, 0x6c7e,
0xa50a, 0xb483, 0x8618, 0x9791, 0xe32e, 0xf2a7, 0xc03c, 0xd1b5,
0x2942, 0x38cb, 0x0a50, 0x1bd9, 0x6f66, 0x7eef, 0x4c74, 0x5dfd,
0xb58b, 0xa402, 0x9699, 0x8710, 0xf3af, 0xe226, 0xd0bd, 0xc134,
0x39c3, 0x284a, 0x1ad1, 0x0b58, 0x7fe7, 0x6e6e, 0x5cf5, 0x4d7c,
0xc60c, 0xd785, 0xe51e, 0xf497, 0x8028, 0x91a1, 0xa33a, 0xb2b3,
0x4a44, 0x5bcd, 0x6956, 0x78df, 0x0c60, 0x1de9, 0x2f72, 0x3efb,
0xd68d, 0xc704, 0xf59f, 0xe416, 0x90a9, 0x8120, 0xb3bb, 0xa232,
0x5ac5, 0x4b4c, 0x79d7, 0x685e, 0x1ce1, 0x0d68, 0x3ff3, 0x2e7a,
0xe70e, 0xf687, 0xc41c, 0xd595, 0xa12a, 0xb0a3, 0x8238, 0x93b1,
0x6b46, 0x7acf, 0x4854, 0x59dd, 0x2d62, 0x3ceb, 0x0e70, 0x1ff9,
0xf78f, 0xe606, 0xd49d, 0xc514, 0xb1ab, 0xa022, 0x92b9, 0x8330,
0x7bc7, 0x6a4e, 0x58d5, 0x495c, 0x3de3, 0x2c6a, 0x1ef1, 0x0f78,
};
5. CRC快速算法
使用C语言实现CRC-16快速算法。
unsigned short do_crc_table_1(unsigned char *data, int length)
{
unsigned short fcs = 0x0000; // 初始化
while(length > 0)
{
fcs = fcs <<8;
fcs = fcs^CRC_table(fcs>>8^*data;);
length--;
data++;
}
return fcs;
}
6. 小结
本文介绍了CRC校验算法的原理，进一步介绍了CRC快速算法的原理，以及CRC余项表的计算方法，最后使用C语言实现该算法。
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