在日常生活中,”几乎“这个词是很常用的。比如,今天全国“考研”,几乎所有的考生都带着准考证入场。这是什么意思呢?说清楚并不容易。
设想给定以下两个数列
r = (3, 4, 7, 8, 9)
s = (2, 4, 6, 8, 9)
在这两个数列中,序号相同而且数值相等的项是2,4,5这三个项。我们称集合{2,4,5}是数列r与s的”相同集“(Agreementset)。”相同集“的概念很重要。比如,当数列r与s是无穷数列时,它们的”相同集“,一般而言,也是无穷集。当这个”相同集“具备什么性质时,我们就可以说”无穷数列r与s是“几乎相等”:的?什么叫“几乎相等”?让符号“≈”表示“几乎相等”的意思,那么,以下条件必须成立:
(1) a ≈ a Reflexivity (自反性) (2) if a ≈ b, then b ≈ a Symmetry (对称性) (3) if a ≈ b and b ≈ c, then a ≈ c Transitivity(传递性) 我们问:“相同集”应该满足什么条件就能保证上述三个条件都成立呢子?只要我们动一下脑子,就容易知道:“相同集”是一个“Set of sets”(集合的集合)里面的元素。这个“集合的集合”很大,我们将其记为{A,B,C,D,...},其中A、B、C、D都是无穷“相同集”。那么,A与B的交集合A∩B必然也在其中;假定A ⊆ B,则有,如果A是“相同集”,那么,B也必然是“相同集”;当然,空集Ǿ 不能在“相同集”之列。而且,我们还要假定集合A与它对于自然数集合的补集只能有一个在“相同集”内。这种“相同集”构成的“集合的集合”,对于我们而言,十分重要,我们(布尔巴基)给它起了个名字,叫做自然数集合N上的“超滤器”(Ultrafilter)。 如此以来,两个无穷数列,如果其“相同集”正好在一个“超滤器”里面,我们就说这两个数列“几乎相等”。容易看出,“几乎相等”的无穷数列构成所谓的“等价类”。实际上,这种“等价类”对应着一个“超实数”。在同济大学编写的《高等数学》教材第55页上的”柯西序列“对应着一个实数为其极限。我们仔细想一想就会发现:超实数的分类标准,相比柯西序列的分类标准,精细多了,所以,超实数要比实数多得多。以下数列: (0,0,0,0,,,,,,,) 称为零数列。收敛于零的柯西数列构成一个等价类。而按照“相同集”划分的等价类,收敛于零的附近,无限相聚在零的近旁,这正是那批神秘万分的无穷小。比如,数列(0,0,......,1,2,3)就是一个无穷小,也可以用小数表示为 0.00......123 其中的“......”表示无穷个零。 至此,我们就容易明白:什么是“几乎所有”的考生都带着准考证进入考场的意思了。实际上,正确理解“几乎所有”很麻烦。