学步园

一：递归实现
 　　使用公式f[n]=f[n-1]+f[n-2]，依次递归计算，递归结束条件是f[1]=1，f[2]=1。
二：数组实现
 　　空间复杂度和时间复杂度都是0(n)，效率一般，比递归来得快。
三：vector<int>实现
 　　时间复杂度是0(n)，时间复杂度是0(1)，就是不知道vector的效率高不高，当然vector有自己的属性会占用资源。
四：queue<int>实现
 　　当然队列比数组更适合实现斐波那契数列，时间复杂度和空间复杂度和vector<int>一样，但队列太适合这里了，
 　　f(n)=f(n-1)+f(n-2)，f(n)只和f(n-1)和f(n-2)有关，f(n)入队列后，f(n-2)就可以出队列了。
五：迭代实现
 　　迭代实现是最高效的，时间复杂度是0(n)，空间复杂度是0(1)。
六：公式实现
　　 百度的时候，发现原来斐波那契数列有公式的，所以可以使用公式来计算的。

          由于double类型的精度还不够，所以程序算出来的结果会有误差，如果把公式展开计算，得出的结果就是正确的。

          完整的实现代码如下：

#include "iostream"<br /> #include "queue"<br /> #include "cmath"<br /> using namespace std;</p> <p>int fib1(int index) //递归实现<br /> {<br /> if(index<1)<br /> {<br /> return -1;<br /> }<br /> if(index==1 || index==2)<br /> return 1;<br /> return fib1(index-1)+fib1(index-2);<br /> }<br /> int fib2(int index) //数组实现<br /> {<br /> if(index<1)<br /> {<br /> return -1;<br /> }<br /> if(index<3)<br /> {<br /> return 1;<br /> }<br /> int *a=new int[index];<br /> a[0]=a[1]=1;<br /> for(int i=2;i<index;i++)<br /> a[i]=a[i-1]+a[i-2];<br /> int m=a[index-1];<br /> delete a; //释放内存空间<br /> return m;<br /> }</p> <p>int fib3(int index) //借用vector<int>实现<br /> {<br /> if(index<1)<br /> {<br /> return -1;<br /> }</p> <p> vector<int> a(2,1); //创建一个含有2个元素都为1的向量<br /> a.reserve(3);<br /> for(int i=2;i<index;i++)<br /> {<br /> a.insert(a.begin(),a.at(0)+a.at(1));<br /> a.pop_back();<br /> }<br /> return a.at(0);<br /> } </p> <p>int fib4(int index) //队列实现<br /> {<br /> if(index<1)<br /> {<br /> return -1;<br /> }<br /> queue<int>q;<br /> q.push(1);<br /> q.push(1);<br /> for(int i=2;i<index;i++)<br /> {<br /> q.push(q.front()+q.back());<br /> q.pop();<br /> }<br /> return q.back();<br /> }<br /> int fib5(int n) //迭代实现<br /> {<br /> int i,a=1,b=1,c=1;<br /> if(n<1)<br /> {<br /> return -1;<br /> }<br /> for(i=2;i<n;i++)<br /> {<br /> c=a+b; //辗转相加法（类似于求最大公约数的辗转相除法）<br /> a=b;<br /> b=c;<br /> }<br /> return c;<br /> }<br /> int fib6(int n)<br /> {<br /> double gh5=sqrt((double)5);<br /> return (pow((1+gh5),n)-pow((1-gh5),n))/(pow((double)2,n)*gh5);<br /> } </p> <p>int main(void)<br /> {<br /> printf("%d\n",fib3(6));<br /> system("pause");<br /> return 0;<br /> }

七：二分矩阵方法

如上图，Fibonacci 数列中任何一项可以用矩阵幂算出，而n次幂是可以在logn的时间内算出的。
下面贴出代码：

void multiply(int c[2][2],int a[2][2],int b[2][2],int mod)<br /> {<br /> int tmp[4];<br /> tmp[0]=a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0];<br /> tmp[1]=a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1];<br /> tmp[2]=a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0];<br /> tmp[3]=a[1][0]*b[0][1]+a[1][1]*b[1][1];<br /> c[0][0]=tmp[0]%mod;<br /> c[0][1]=tmp[1]%mod;<br /> c[1][0]=tmp[2]%mod;<br /> c[1][1]=tmp[3]%mod;<br /> }//计算矩阵乘法，c=a*b</p> <p>int fibonacci(int n,int mod)//mod表示数字太大时需要模的数<br /> {<br /> if(n==0)return 0;<br /> else if(n<=2)return 1;//这里表示第0项为0，第1，2项为1</p> <p> int a[2][2]={{1,1},{1,0}};<br /> int result[2][2]={{1,0},{0,1}};//初始化为单位矩阵<br /> int s;<br /> n-=2;<br /> while(n>0)<br /> {<br /> if(n%2 == 1)<br /> multiply(result,result,a,mod);<br /> multiply(a,a,a,mod);<br /> n /= 2;<br /> }//二分法求矩阵幂<br /> s=(result[0][0]+result[0][1])%mod;//结果<br /> return s;<br /> }附带的再贴上二分法计算a的n次方函数。

int pow(int a,int n)<br /> {<br /> int ans=1;<br /> while(n)<br /> {<br /> if(n&1)<br /> ans*=a;<br /> a*=a;<br /> n>>=1;<br /> }<br /> return ans;<br /> }