引言
什么是快速傅立叶变换不在本文的讨论范围内，本文主要针对实践中出现的一些其它文献中很少提及的情况做一下补充。
索引
1、当图像的宽度或高度不是2的整数次方时的处理方法
2、FFT公式的一些变形情况
3、关于公式上的e的一些补充介绍
正文
1、当图像的宽度或高度不是2的整数次方时的处理方法
我们实际应用中普遍的图像的宽或高不是2的整数次方，然而很多有关数字信号处理和数字图像处理的书中却假象为宽和高都为2的整数次方，对于一些初次接触数字图像处理的朋友们来说感觉会有点茫然不知所措，这也正是蝶形算法的特点，下面笔者将告诉你几种办法解决这个问题。
1）从后端补零凑成2的整数次方
这个方法追根溯源是在数字信号处理中使用FFT进行一维输入信号变换的方法，但是在数字图像处理中并不适用，原因在于，进行频率域滤波的几种方法：理想滤波器、Butter-Worth滤波器、高斯滤波器、梯度滤波器、指数滤波器等等需要根据距离中心（即能量最集中的地方）的半径来进行频率域滤波，而从这种后端补零方法产生的傅立叶能量谱中我们发现能量并不是居中的，而是很混乱的，除非使图像本身的大小就是2的整数次方，不然无法根据距离中心的半径进行准确滤波。
2）图像居中法
顾名思义，就是求出与图像尺寸最接近且大于等于该图像长或宽的零图像，把已知图像放到这个生成图像的中央，此时会在四周产生Padding，我们对这个图进行FFT就可以了，这是最理想的方法，非常通用，屡试不爽。
2、FFT公式的变形情况
FFT和IFFT（即快速傅立叶反变换）互为变换对，所以一些资料上说得FFT变换公式恰是另一些资料中说的IFFT公式，其实没有差别。
另外的一些形式还有：
这个笔者初看以为作者写错了，后来通过证明，发现此式与Matlab中的FFT变换公式是等价的，算是个小证明题，大家有兴趣可以试一下。
3、关于公式中e的一些补充介绍
这里的e的指数是个复数，很多没有学习过复变函数的朋友可能会很诧异下面这个式子
这里e的指数部分不包含实部。在在复数域指数函数的定义是
当x = 0 时，也就是我们说的实部为0时，就得到上面那个式子了。