这篇文章接着讲怎样高效地遍历所有的组合。同样，假定全集的大小不大于机器字长，计算模型为 word-RAM，即诸如 +, –, *, /, %, &, |, >>, << 等此类操作皆可以在 O(1) 时间内完成。当然，一般 / 和 % 操作明显要慢上一些，因此我们总是希望能够尽量避免使用两个操作。在上一篇 blog 中的子集遍历比较简单，基本上只用到了 +, – , & 三种操作。而组合遍历相对要复杂得多，一些让人不舒服的操作总是难以避免。下面将要介绍两种完全不同的组合遍历算法，其中一种用到了 / 操作，而另一种则使用了三目运算符。尽管不算十分完美，也应该是足够高效啦。
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2 遍历所有组合
2.1 colex & reverse colex
说到各种位运算技巧，早年从 MIT 流传出来的一份技术报告 HAKMEM 可谓是一本黑暗圣经。在 HAKMEM 的第175条中记录着一个非常巧妙而实用的技巧，被称为 Gosper’s hack，它仅仅使用几个非常简单的算术运算和位运算，即可得到与当前所输入的整数含有相同数目的1的下一个整数：
s = x & (-x);
r = s + x;
n = r | (((x ^ r) >> 2) / s);
在上面这段代码中 x 是输入，n 是输出，为大于 x 且与 x 含1个数相同的最小整数。比如若输入 x = 0b0101, 那么将输出 n = 0b0110。使用这一技巧使得我们可以非常容易地生成所有组合，代码如下：（这是一个成员函数，完整的代码可在位运算与组合搜索（一）所附的压缩包中找到）：
view sourceprint?1 bool next(unsigned long &x) const
2 {
3 if (x == last_) return false;
4 unsigned long r, s;
5 s = x & (-(long)x);
6 r = s + x;
7 x = r | (((x ^ r) >> 2) / s);
8 return true;
9 }
上面代码中的 last_ 表示的是最后一个组合。这里遍历组合的序为 colex，最小的组合是所有1都在低位，而最大的组合（即 last_） 是当所有1都在高位。比如若全集为 {a, b, c, d, e}，我们用以上代码遍历其所有大小为2的子集，顺序将如下表所示：
序号 值 位串 子集
1 0b00011 11000 {a, b}
2 0b00101 10100 {a, c}
3 0b00110 01100 {b, c}
4 0b01001 10010 {a, d}
5 0b01010 01010 {b, d}
6 0b01100 00110 {c, d}
7 0b10001 10001 {a, e}
8 0b10010 01001 {b, e}
9 0b10100 00101 {c, e}
10 0b11000 00011 {d, e}
现在稍微来解释 Gosper’ hack 是怎样工作的：
第一条语句：s = x & (-x)， 用于标识出 x 最低位的1（设最低的1右边有 c 个0）。 e.g. 0b10110 –> 0b00010
第二条语句：r = s + x， 将 x 右端的连续一段1清零（红色标识的部分，设这一段有 k 个1），并将前一位设为1。 e.g. 0b10110 –> 0b11000
第三条语句：n = r | (((x ^ r) >> 2) / s)， 这里先用 x 异或 r 得到 k + 1 + c 个连续的1。然后右移 2 位，再除于 s （相当于右移 c 位），得到 k – 1 位连续的1，最后添加到 r 的最右边，打完收工。e.g. 0b11000 | 0b00001 = 0b11001
由于该 hack 中的除法实际上只是用来移位的，因此可以想办法绕过去 （如果你实在看不顺眼那个除号的话）。比如可以使用 bsr 指令计算出 c ，然后直接移位即可。但经过我的测试，发现还是直接除法来得比较快。
view sourceprint?1 // Find last bit set
2 static inline unsigned long __fls(unsigned long x)
3 {
4 __asm bsr eax, x;
5 }
现在如果想要反向生成所有的组合那又该如何呢，其实很简单，因为 colex 具有一种某种意义上的对称性：某个组合的前一个组合等于这个组合的补集的下一个组合的补集。如果我们想要得到组合 x 按照 colex 的上一个组合，只需生成 ~x 的下一个组合，再取反即可：
view sourceprint?1 bool prev(unsigned long &x) const
2 {
3 if (x == first_) return false;
4 x = ~x;
5 next(x);
6 x = ~x;
7 return true;
8 }
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2.2 cool-lex & reverse cool-lex
cool-lex，顾名思义，就是非常 cool 的 lex。cool-lex 是由 Frank Ruskey 和 Aaron Williams 发明的，如果想要详细的了解 cool-lex 的性质，可以看一下参考文献6。另外在这里还有一段 cool-lex 的音乐，感兴趣的可以试听一下。虽然它不怎么好听，也显然不可能给你带来关于 cool-lex 的任何洞见。下面我只简单介绍一下怎样按照 cool-lex 或者反向 cool-lex 进行组合遍历。
cool-lex 的生成算法是基于后缀旋转的（如果是针对位串表示则是前缀旋转，但下面我们都是针对二进制整数表示，也就是低位在右边）：找到最短的以010或者110开始的后缀（如果不存在则选定全部位），然后向左旋转1位。比如组合0b01101, 首先找出最短的以010或者110开始的后缀（用红色表示）：0b01101，然后将这个后缀向左旋转1位（即循环左移1位）即得到下一个组合：0b01011。
如何借助于位运算高效的完成后缀旋转呢，Donald 在 TAoCP 中7.2.1.3节习题55的答案中给出了一个 MMIX 实现。下面的代码是我写的一个C++版：
view sourceprint?01 bool next(unsigned long &x) const
02 {
03 if (x == last_) return false;
04
05 unsigned long r, s;
06 r = x & (x + 1);
07 s = r ^ (r - 1);
08 r = ((s + 1) & x) ? s : 0;
09 x = x + (x & s) - r;
10 return true;
11 }
上面代码中的 last_ 当然也是指最后一个组合。cool-lex 中的第一个组合也是所有1在低位，即类似于这样：0b0…01…1。最后一个组合是1个1在最高位，而其余的1在低位，即形如 0b10…01…1。这段代码到底是怎么起作用的？你猜！我就不分析了，不过我等下会详细解释生成 reverse cool-lex 的代码。下表是 cool-lex 序的一个例子（同样，全集为 {a, b, c, d, e}，子集大小为 2）：
序号 值 位串 子集
1 0b00011 11000 {a, b}
2 0b00110 01100 {b, c}
3 0b00101 10100 {a, c}
4 0b01010 01010 {b, d}
5 0b01100 00110 {c, d}
6 0b01001 10010 {a, d}
7 0b10010 01001 {b, e}
8 0b10100 00101 {c, e}
9 0b11000 00011 {d, e}
10 0b10001 10001 {a, e}
现在来讲怎样反向遍历 cool-lex。reverse cool-lex 被提到的不多，网上以及各种文献上也并没有生成 reverse cool-lex 的代码，因此我只好自己写了一个。想要得到高效的 cool-lex 反向遍历代码，首先需要一个简单的生成规则。这个规则其实根据正向 cool-lex 的规则可以很容易地yy出来：找到最短的以100或者101开始的后缀（如果不存在则选定全部位），然后向右旋转1位。（后来我向 Frank 请教了一下，他说这个规则的确是正确的，另外还告诉我 Aaron 的另一篇文章 “loopless generation of multiset permutations by prefix shifts” 对 reverse cool-lex 作了介绍。）
规则有了，还剩下最后一个问题，那就是怎样借助于位运算高效的实现这个规则。下面是我的实现：
view sourceprint?01 bool prev(unsigned long &x) const
02 {
03 if (x == first_) return false;
04 unsigned long r, s, v;
05 v = x | 1;
06 r = v & (v + 1);
07 s = r ^ (r - 1);
08 v = s & x;
09 r = (v & 1) ? s - (s >> 1) : 0;
10 x = x & (~s) | r | (v >> 1);
11 return true;
12 }
上面的代码中，基本上都是非常基础的位运算技巧，如果你对此并不熟悉，不妨看一下参考文献1或3。首先，我们需要找到最短的以 100 或者 101 开始的后缀，这将通过下面四条语句来完成：
第一条语句：v = x | 1，将最低位置1。e.g. 0b01010 –> 0b01011
第二条语句：r = v & (v + 1)，清除右边连续的1。 e.g. 0b01011 –> 0b01000
第三条语句：s = r ^ (r – 1)，标记最低位的1以及其后的0。e.g. 0b01000 –> 0b01111
第四条语句：v = s & x，得到后缀。e.g. 0b01111 & 0b01010 –> 0b01010
至此，满足条件的后缀已经找出来了，下一步的工作就是将它右旋一位：
第五条语句：r = (v & 1) ? s - (s >> 1) : 0， 得到旋转后的后缀的最高位。 e.g. 0b01111 - 0b00111 –> 0b01000
第六条语句：x = x & (~s) | r | (v >> 1)，将后缀右移一位，与最高位相或，再与其余不相干的位合并，即得到最终结果。 e.g. 0b00101
在第五条语句用到了三目运算符，这里其实也可以借助 bsr 指令绕过去。我并没有比较哪种更快一些。
完。（做人要厚道，转载请注明出处
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3 参考文献
Henry S. W., Hacker’s Delight.
Jörg A., Matters Computational.
Donald E. K., The Art of Computer Programming: Bitwise Tricks and Techniques. Volume 4, Pre-Fascicle 1A.
Donald E. K., The Art of Computer Programming: Generating all Combinations and Partitions. Volume 4, Fascicle 3.
Beeler M., Gosper R. W., and Schroeppel R., HAKMEM
Frank R., Aaron W., The Coolest Way To Generate Combinations.
P.S. 对于我这种从小就怕写作文的人来说，写篇稍正式一点的技术文章实在是太辛苦了，因此关于位运算与组合搜索就先写到这里，虽然有很多想说的还没有谈到。以后有心情了再来讨论怎样高效实现（一）中提到的映射操作及其逆操作。
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