整数的性质及其应用(1)
|
||
基础知识 整数的性质有很多,这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性,质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1.整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明,我们所涉及的数都是整数,所采用的字母也表示整数。 定义:设是给定的数,,若存在整数,使得则称整除,记作,并称是的一个约数(因子),称是的一个倍数,如果不存在上述,则称不能整除记作。 由整除的定义,容易推出以下性质: (1)若且,则(传递性质); (2)若且,则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质,易知及,则对于任意的整数有。更一般,若都是的倍数,则。或着,则其中; (3)若,则或者,或者,因此若且,则; (4)互质,若,则; (5)是质数,若,则能整除中的某一个;特别地,若是质数,若,则; (6)(带余除法)设为整数,,则存在整数和,使得,其中,并且和由上述条件唯一确定;整数被称为被除得的(不完全)商,数称为被除得的余数。注意:共有种可能的取值:0,1,……,。若,即为被整除的情形; 易知,带余除法中的商实际上为(不超过的最大整数),而带余除法的核心是关于余数的不等式:。证明的基本手法是将分解为与一个整数之积,在较为初级的问题中,这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生,下面两个分解式在这类论证中应用很多,见例1、例2。 若是正整数,则; 若是正奇数,则;(在上式中用代) (7)如果在等式中取去某一项外,其余各项均为的倍数,则这一项也是的倍数; (8)n个连续整数中,有且只有一个是n的倍数; (9)任何n个连续的整数之积一定是n!的倍数,特别地,三个连续的正整数之积能被6整除; 2.奇数、偶数有如下性质: (1)奇数奇数=偶数,偶数偶数=偶数,奇数偶数=奇数,偶数偶数=偶数,奇数偶数=偶数,奇数奇数=奇数;即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数,奇数个奇数的和、差仍为奇数,偶数个奇数的和、差为偶数,奇数与偶数的和为奇数,和为偶数; (2)奇数的平方都可以表示成的形式,偶数的平方可以表示为或的形式; (3)任何一个正整数,都可以写成的形式,其中为负整数,为奇数。 (4)若有限个整数之积为奇数,则其中每个整数都是奇数;若有限个整数之积为偶数,则这些整数中至少有一个是偶数;两个整数的和与差具有相同的奇偶性;偶数的平方根若是整数,它必为偶数。 3.完全平方数及其性质 能表示为某整数的平方的数称为完全平方数,简称平方数。平方数有以下性质与结论: (1)平方数的个位数字只可能是0,1,4,5,6,9; (2)偶数的平方数是4的倍数,奇数的平方数被8除余1,即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1; (3)奇数平方的十位数字是偶数; (4)十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6; (5)不能被3整除的数的平方被3除余1,能被3整数的数的平方能被3整除。因而,平方数被9也合乎的余数为0,1,4,7,且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1,4,7; (6)平方数的约数的个数为奇数; (7)任何四个连续整数的乘积加1,必定是一个平方数。 (8)设正整数之积是一个正整数的次方幂(),若()=1,则都是整数的次方幂。一般地,设正整数之积是一个正整数的次方幂(),若两两互素,则都是正整数的k次方幂。 4.整数的尾数及其性质 整数的个位数也称为整数的尾数,并记为。也称为尾数函数,尾数函数具有以下性质: (1);(2)=; (3);(4);; (5)若,则;(6); (7); (8) 5.整数整除性的一些数码特征(即常见结论) (1)若一个整数的未位数字能被2(或5)整除,则这个数能被2(或5)整除,否则不能; (2)一个整数的数码之和能被3(或9)整除,则这个数能被3(或9)整除,否则不能; (3)若一个整数的未两位数字能被4(或25)整除,则这个数能被4(或25)整除,否则不能; (4)若一个整数的未三位数字能被8(或125)整除,则这个数能被8(或125)整除,否则不能; (5)若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数,则这个数能被11整除,否则不能。 6.质数与合数及其性质 1.正整数分为三类:(1)单位数1;(2)质数(素数):一个大于1的正整数,如果它的因数只有1和它本身,则称为质(素)数;(3)如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子,则称这个自然数为合数。 2.有关质(素)数的一些性质 (1)若,则的除1以外的最小正因数是一个质(素)数。如果,则; (2)若是质(素)数,为任一整数,则必有或()=1; (3)设为个整数,为质(素)数,且,则必整除某个(); (4)(算术基本定理)任何一个大于1的正整数,能唯一地表示成质(素)因数的乘积(不计较因数的排列顺序); (5)任何大于1的整数能唯一地写成 ① 的形式,其中为质(素)数()。上式叫做整数的标准分解式; (6)若的 |