算法总体思想
对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
分治法的设计思想是:将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
递归的概念
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。
分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
示例：
例1 阶乘函数
阶乘函数可递归地定义为：
n! = 1 n = 0 (边界条件)
n! = n(n-1)! n > 0 (递归方程)
边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。
实现：
/* 主题：阶乘使用递归和非递归实现
* 作者：chinazhangjie
* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com
* 开发语言：C++
* 开发环境：Code::Blocks 10.05
* 时间: 2010.10.05
*/
#include <iostream>
using namespace std;
// factorial implement by recursive
long factorial_recursive(long n)
{
if (n == 0)
return 1;
return n * factorial_recursive(n-1);
}
// factorial implement by loop
long factorial_loop(long n)
{
long result = 1;
for (int i = n; i > 0; -- i)
result *= i;
return result;
}
int main()
{
for (int i = 0; i < 10; i ++ ) {
cout << i << "!" << " = "
<< factorial_recursive(i)
<< ","
<< factorial_loop(i)
<< endl;
}
return 0;
}
例2 Fibonacci数列
无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为：
F(n) = 1 n = 0 (边界条件)
F(n) = 1 n = 1 (递归方程)
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) n > 2 (递归方程)
实现：
/* 主题：fibonacci数列使用递归和非递归实现
* 作者：chinazhangjie
* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com
* 开发语言：C++
* 开发环境：Code::Blocks 10.05
* 时间: 2010.10.05
*/
#include <iostream>
using namespace std;
// fibonacci implement by recursive
long fibonacci_recursive(long n)
{
if (n <= 1 )
return 1;
return fibonacci_recursive(n - 1)
+ fibonacci_recursive(n - 2);
}
// fibonacci implement by loop
long fibonacci_loop(long n)
{
if (n == 0 || n == 1)
return 1;
long f1 = 1;
long f2 = 1;
long result = 0;
for (long i = 1; i < n ; ++ i) {
result = f1 + f2;
f1 = f2;
f2 = result;
}
return result;
}
int main()
{
cout << "fibonacci implement by recursive: " << endl;
for (long i = 0; i <= 20; ++ i)
cout << fibonacci_recursive(i) << " " ;
cout << endl << endl;
cout << "fibonacci implement by loop: " << endl;
for (long i = 0; i <= 20; ++ i)
cout << fibonacci_loop(i) << " " ;
cout << endl;
return 0;
}
例3 Ackerman函数
当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时，称这个函数是双递归函数。
Ackerman函数A(n，m)定义如下：
A(1,0) = 2
A(0,m) = 1 m >= 0
A(n,0) = n + 2 n >= 2
A(n,m) = A(A(n-1,m),m-1) n,m >= 1
前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义：
n! = 1 * 2 * 3 * ... * (n - 1) * n
本例中的Ackerman
函数却无法找到非递归的定义。
A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数：
M = 0时，A(n,0)=n+2
M = 1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0) = A(n-1,1)+2，和 A(1,1)=2故A(n,1)=2*n
M = 2时，A(n,2) = A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)= 2^n 。
M = 3时，类似的可以推出
M = 4时，A(n,4)
的增长速度非常快，以至于没有适当的数
学式子来表示这一函数。
实现：
/* 主题：ackerman函数使用递归实现
* 作者：chinazhangjie
* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com
* 开发语言：C++
* 开发环境：Code::Blocks 10.05
* 时间: 2010.10.05
*/
#include <iostream>
using namespace std;
// ackerman implement
long ackerman(long n,long m)
{
if (n == 1 && m == 0)
return (long)2;
if (n == 0)
return 1;
if (m == 0)
return n + 2;
return ackerman( ackerman(n-1,m) , m-1);
}
int main()
{
cout << "m = 0 : " << endl;
cout << "ackerman(1,0) = " << ackerman(1,0) << endl;
cout << "ackerman(2,0) = " << ackerman(2,0) << endl;
cout << "ackerman(3,0) = " << ackerman(3,0) << endl;
cout << "ackerman(4,0) = " << ackerman(4,0) << endl;
cout << "m = 1 : " << endl;
cout << "ackerman(1,1) = " << ackerman(1,1) << endl;
cout << "ackerman(2,1) = " << ackerman(2,1) << endl;
cout << "ackerman(3,1) = " << ackerman(3,1) << endl;
cout << "ackerman(4,1) = " << ackerman(4,1) << endl;
cout << "m = 2 : " << endl;
cout << "ackerman(1,2) = " << ackerman(1,2) << endl;
cout << "ackerman(2,2) = " << ackerman(2,2) << endl;
cout << "ackerman(3,2) = " << ackerman(3,2) << endl;
cout << "ackerman(4,2) = " << ackerman(4,2) << endl;
cout << "m = 3 : " << endl;
cout << "ackerman(1,3) = " << ackerman(1,3) << endl;
cout << "ackerman(2,3) = " << ackerman(2,3) << endl;
cout << "ackerman(3,3) = " << ackerman(3,3) << endl;
cout << "ackerman(4,3) = " << ackerman(4,3) << endl;
return 0;
}
例4 排列问题
设计一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。
设R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素，
Ri=R-{ri}
。
集合X中元素的全排列记为perm(X)。
(ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前缀得到的排列。R的全排列可归纳定义如下：
当n=1时，perm(R)=(r)，其中r是集合R
中唯一的元素；
当n>1时，perm(R)由(r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，…，(rn)perm(Rn)构成。
/* 主题：全排列使用递归和非递归实现
* 作者：chinazhangjie
* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com
* 开发语言：C++
* 开发环境：Code::Blocks 10.05
* 时间: 2010.10.07
*/
#include <iostream>
#include <vector>
#include <iterator>
using namespace std;
/* 使用递归实现
* 递归产生所有前缀是list[0:k-1]，
* 且后缀是list[k,m]的全排列的所有排列
* 调用算法perm(list,0,n-1)则产生list[0:n-1]的全排列
*/
template <class T>
void perm_recursion(T list[],int k,int m)
{
// 产生list[k:m]的所有排列
if (k == m) {
for (int i = 0; i <= m; i ++)
cout << list[i] << " ";
cout << endl;
}
else {
// 还有多个元素，递归产生排列
for (int i = k; i <= m; ++ i) {
swap(list[k],list[i]);
perm_recursion(list,k+1,m);
swap(list[k],list[i]);
}
}
}
// 非递归实现（可参照STL next_permutation源码）
template <class T>
void perm_loop(T list[],int len)
{
int i,j;
vector<int> v_temp(len);
// 初始排列
for(i = 0; i < len ; i ++)
v_temp[i] = i;
while (true) {
for (i = 0; i < len; i ++ )
cout << list[v_temp[i]] << " ";
cout << endl;
// 从后向前查找，看有没有后面的数大于前面的数的情况，若有则停在后一个数的位置。
for(i = len - 1;i > 0 && v_temp[i] < v_temp[i-1] ; i--);
if (i == 0)
break;
// 从后查到i，查找大于 v_temp[i-1]的最小的数，记入j
for(j = len - 1 ; j > i && v_temp[j] < v_temp[i-1] ; j--);
// 交换 v_temp[i-1] 和 v_temp[j]
swap(v_temp[i-1],v_temp[j]);
// 倒置v_temp[i]到v_temp[n-1]
for(i = i,j = len - 1 ; i < j;i ++,j --) {
swap(v_temp[i],v_temp[j]);
}
}
}
int main()
{
int list[] = {0,1,2};
cout << "permutation implement by recursion: " << endl;
perm_recursion(list,0,2);
cout << endl;
cout << "permutation implement by loop: " << endl;
perm_loop(list,3);
cout << endl;
return 0;
}
参考资料：《算法设计与分析基础》王晓东 编著
授课教师： 张阳教授