这篇文章的主题是“解耦”
如下面这个不等式,其中u是t的函数,且有
上式中和相互作用,这种关系就是耦合,我们的任务就是解除二者之间这种纠结的关系,至于解耦的好处不必多说了,大家能罗列许多。
为了解决这个问题,需要介绍以下知识:
(1)差分方程
其中是列向量,是矩阵
以一个简单的矩阵为例
很容易观察到,A的迹(trace)为-3,A是奇异矩阵(singular),所以,矩阵A有一个特征值0,还有一个特征值-3,微分方程的解具有如下的形式
其中lambda(1)=0,lambda(2)=-3,x1和x2分别是对应的特征向量。我们可以将u(t)带入原式就可以知道,这是满足方程的解,由此我们得到了和两个没有耦合关系的项,这样我们就实现了“解耦”
继续往下走,
由于,所以由对应系数相等我们可以解得
c1=c2=1/3,所以有
当t趋近于无穷大时,exp(-3t)=0,所以
上述描述了由本文最开始给出的差分方程所构建的系统的稳态。
(2)应用对角化方法
再次回到差分方程
在上面的解答步骤中我们可以得到
、
写成矩阵的形式如下
简记为Sc=u(0),其中S是特征向量所构成的矩阵。在方程中,u1和u2二者是耦合的关系,我们使用对角化方法,设u=Sv,其中S是对角阵,将具有耦合关系的u1和u2转为解耦的v1和v2,其中S是特征向量构成的矩阵,这很容易让人联想到矩阵的对角化,没有错,这里用的就是这个知识点。我们将u(t)=Sv(t)代入式中,得到,
所以,
(3)矩阵指数函数
我们知道下面这两个泰勒级数
我们可以把矩阵指数函数exp(At)看成上面的第一个泰勒级数展开式
同理,I-At的倒数也可以写成如下的形式
如果矩阵A可以对角化(这个是前提),那么其中,是对角阵,对角线元素是矩阵A的特征值,且有
这个证明很容易,这里就不再累述。
我们如何看待这个式子呢,当A的特征值lambda(i)小于0时,exp(labmda(i)*t)在t趋近于无穷大时会收敛于0,趋于稳定,因此,如果一个系统由差分方程的形式给出时,我们需要考虑的是系统矩阵的特征值的实部,而虚部由欧拉公式展开可知其模为1,就是一个单位圆,Strang教授把虚部看成是小噪音,它只是一个在单位圆的圆周上绕转而已,而真正决定系统稳态的是实部,当实部为负数时,其矩阵指数函数最终会收敛。
最后一个要提的问题是,我们前面说的是2阶的系统,如果是更高阶的,比如系统由这样一个高阶方程表示
那怎么办呢,这里使用的小技巧是
设,那么有,这样问题就得到了解决。对于更高阶的,系统矩阵A具有下面这样的形式
(这里假定是五阶系统)
down!